LC 813. 最大平均值和的分组

题目描述

这是 LeetCode 上的 813. 最大平均值和的分组 ,难度为 中等

给定数组 nums 和一个整数 k 。我们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个相邻的非空子数组 。 分数 由每个子数组内的平均值的总和构成。

注意我们必须使用 nums 数组中的每一个数进行分组,并且分数不一定需要是整数。

返回我们所能得到的最大 分数 是多少。答案误差在 $10^{-6}$ 内被视为是正确的。

示例 1:

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输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3

输出: 20.00000

解释:
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20.
我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9].
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.

示例 2:
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输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4

输出: 20.50000

提示:

  • $1 <= nums.length <= 100$
  • $1 <= nums[i] <= 10^4$

前缀和 + 序列 DP

题意可整理为一句话:将 $n$ 个元素划分为「最多」$m$ 个连续段,最大化连续段的平均值之和。

为了方便,我们令所有数组下标从 $1$ 开始。

定义 $f[i][j]$ 为考虑将前 $i$ 个元素划分成 $j$ 份的最大平均和,答案为 $f[n][k]$,其中 $1 \leq k \leq m$。

不失一般性考虑 $f[i][j]$ 该如何计算,由于划分出来的子数组不能是空集,因此我们可以根据 $j$ 的大小分情况讨论:

  • 当 $j = 1$,此时有 $f[i][j] = \frac{\sum_{idx = 1}^{i} nums[idx - 1]}{i}$
  • 当 $j > 1$,此时枚举最后一个子数组的起点 $k$,其中 $2 \leq k \leq i$,此时有平均值之和为 $f[k - 1][j - 1] + \frac{\sum_{idx = k}^{i} nums[idx]}{i - k + 1}$,最终 $f[i][j]$ 为枚举所有 $k$ 值的最大值

其中求解连续段之和可以用「前缀和」进行优化。同时,想要简化代码,还可以利用一个简单的数学结论:划分份数越多,平均值之和越大,因此想要取得最大值必然是恰好划分成 $m$ 份。

Java 代码:

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class Solution {
public double largestSumOfAverages(int[] nums, int m) {
int n = nums.length;
double[] sum = new double[n + 10];
for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
double[][] f = new double[n + 10][m + 10];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= Math.min(i, m); j++) {
if (j == 1) {
f[i][1] = sum[i] / i;
} else {
for (int k = 2; k <= i; k++) {
f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (sum[i] - sum[k - 1]) / (i - k + 1));
}
}
}
}
return f[n][m];
}
}

TypeScript 代码:
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function largestSumOfAverages(nums: number[], m: number): number {
const n = nums.length
const sum = new Array<number>(n + 10).fill(0)
for (let i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1]
const f = new Array<Array<number>>()
for (let i = 0; i < n + 10; i++) f[i] = new Array<number>(m + 10).fill(0)
for (let i = 1; i <= n; i++) {
for (let j = 1; j <= Math.min(i, m); j++) {
if (j == 1) {
f[i][j] = sum[i] / i
} else {
for (let k = 2; k <= i; k++) {
f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (sum[i] - sum[k - 1]) / (i - k + 1))
}
}
}
}
return f[n][m]
}

Python 代码:
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class Solution:
def largestSumOfAverages(self, nums: List[int], m: int) -> float:
n = len(nums)
psum = [0] * (n + 10)
for i in range(1, n + 1):
psum[i] = psum[i - 1] + nums[i - 1]
f = [[0] * (m + 10) for _ in range(n + 10)]
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, min(i, m) + 1):
if j == 1:
f[i][j] = psum[i] / i
else:
for k in range(2, i + 1):
f[i][j] = max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (psum[i] - psum[k - 1]) / (i - k + 1))
return f[n][m]

  • 时间复杂度:$O(n^2 \times m)$
  • 空间复杂度:$O(n \times m)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.813 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode

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