LC 878. 第 N 个神奇数字

题目描述

这是 LeetCode 上的 878. 第 N 个神奇数字 ，难度为 困难。

一个正整数如果能被 a 或 b 整除，那么它是神奇的。

给定三个整数 n , a , b ，返回第 n 个神奇的数字。因为答案可能很大，所以返回答案 对 $10^9 + 7$ 取模 后的值。

示例 1：

输入：n = 1, a = 2, b = 3

输出：2

示例 2：

输入：n = 4, a = 2, b = 3

输出：6

提示：

• $1 <= n <= 10^9$
• $2 <= a, b <= 4 \times 10^4$

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数学

提示一 : 从题面分析常见做法，从常见做法复杂度出发考虑其他做法

若不看数据范围，只看题面，容易想到的做法是「多路归并」：起始使用两个指针指向 [a, 2a, 3a, ... ] 和 [b, 2b, 3b, ...] 的开头，不断比较两指针所指向的数值大小，从而决定将谁后移，并不断更新顺位计数。

该做法常见，但其复杂度为 $O(n)$，对于本题 $n = 1e9$ 来说并不可行。

确定线性复杂度的做法不可行后，我们考虑是否存在对数复杂度的做法。

提示二 : 如何考虑常见的对数复杂度做法，如何定义二段性

题目要我们求第 $n$ 个符合要求的数，假设我们想要通过「二分」来找该数值，那么我们需要分析其是否存在「二段性」。

假设在所有「能够被 a 或 b 整除的数」形成的数轴上，我们要找的分割点是 k，我们期望通过「二分」来找到 k 值，那么需要定义某种性质，使得 k 左边的数均满足该性质，k 右边的数均不满足该性质。

不难想到可根据题意来设定该性质：小于 k 的任意数字 x 满足在 $[0, x]$ 范围数的个数不足 k 个，而大于等于 k 的任意数字 x 则不满足该性质。

提示三 : 如何实现高效的 check 函数

当确定使用「二分」来做时，剩下问题转化为：如何快速得知某个 $[0, n]$ 中满足要求的数的个数。

容易联想到「容斥原理」：能被 a 或 b 整除的数的个数 = 能够被 a 整除的数的个数 + 能够被 b 整除的数的个数 - 既能被 a 又能被 b 整除的数的个数。

$$\left \lfloor \frac{n}{a} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{b} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{n}{c} \right \rfloor$$

其中 c 为 a 和 b 的最小公倍数。

求解最小公倍数 lcm 需要实现最大公约数 gcd，两者模板分别为：

[]

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int lcm(int a, int b) {
    return a * b / gcd(a, b);
}

提示四 : 如何确定值域

一个合格的值域只需要确定答案在值域范围即可，因此我们可以直接定值域大小为 $1e18$。

或是根据 a 和 b 的取值来大致确定：假设两者中的较大值为 $m$，此时第 $n$ 个符合要求的数最大不会超过 $n \times m$，因此也可以设定值域大小为 $[0, 40000n]$。

Java 代码：

class Solution {
    int n, a, b, c;
    int gcd(int a, int b) {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }
    public int nthMagicalNumber(int _n, int _a, int _b) {
        n = _n; a = _a; b = _b; c = a * b / gcd(a, b);
        long l = 0, r = (long)1e18;
        while (l < r) {
            long mid = l + r >> 1;
            if (check(mid) >= n) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return (int)(r % 1000000007);
    }
    long check(long x) {
        return x / a + x / b - x / c;
    }
}

TypeScript 代码：

function nthMagicalNumber(n: number, a: number, b: number): number {
    function gcd(a: number, b: number): number {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b)
    }
    function check(x: number): number {
        return Math.floor(x / a) + Math.floor(x / b) - Math.floor(x / c)
    }
    const c = Math.floor(a * b / gcd(a, b))
    let l = 0, r = 1e18
    while (l < r) {
        const mid = Math.floor((l + r) / 2)
        if (check(mid) >= n) r = mid
        else l = mid + 1
    }
    return r % 1000000007
}

Python3 代码：

class Solution:
    def nthMagicalNumber(self, n: int, a: int, b: int) -> int:
        def gcd(a, b):
            return a if b == 0 else gcd(b, a % b)
        def check(x):
            return x // a + x // b - x // c
        c = a * b // gcd(a, b)
        l, r = 0, 1e18
        while l < r:
            mid = (l + r) // 2
            if check(mid) >= n:
                r = mid
            else:
                l = mid + 1
        return int(r % 1000000007)

• 时间复杂度：$O(\log{N})$，其中 $N = 1e18$ 为值域大小
• 空间复杂度：$O(1)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.878 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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