LC 862. 和至少为 K 的最短子数组

题目描述

这是 LeetCode 上的 863. 二叉树中所有距离为 K 的结点 ，难度为 困难。

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，找出 nums 中和至少为 k 的 最短非空子数组 ，并返回该子数组的长度。如果不存在这样的 子数组 ，返回 -1 。

子数组 是数组中 连续 的一部分。

示例 1：

1
2
3
输入：nums = [1], k = 1

输出：1

示例 2：
1
2
3
输入：nums = [1,2], k = 4

输出：-1

示例 3：
1
2
3
输入：nums = [2,-1,2], k = 3

输出：3

提示：

  • $1 <= nums.length <= 10^5$
  • $-10^5 <= nums[i] <= 10^5$
  • $1 <= k <= 10^9$

前缀和 + 离散化 + 权值树状数组

由于求解的对象是子数组，容易联想到求连续段之和，容易联想到「前缀和」，假设我们预处理出的前缀和数组为 $sum$（为了方便，我们令前缀和数组坐标从 $1$ 开始）。

即每个 $nums[i]$ 而言，本质上是找满足「$sum[i] - sum[j] \geqslant k$」条件的最大下标 $j$，其中 $j$ 的取值范围为 $[0, i - 1]$，从而知道以 $i$ 作为右端点时，满足条件的最短子数组长度为 $i - j$。

先考虑存在负数域的问题，由于我们需要使用 $sum[X]$，以及对应的 $sum[X] + k$，同时 $k$ 的取值为 $1e9$（过大），我们可以通过「离散化」手段将其映射到 $2$ 倍的数组长度，即大小为 $2 \times 10^5$ 的正数域。

随后来考虑如何求解「满足条件的最大下标」问题，可以通过「权值树状数组」来做：对于每个 $sum[i]$ 而言，我们利用「权值树状数组」来维护满足大于等于 $sum[i] + k$ 的最大下标。起始我们先初始化树状数组为 $-1$，遍历过程中，查询是否存在满足条件的下标（若不为 -1 则更新 ans），并更新权值树状数组对应的最大下标即可。

代码：

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class Solution {
    static int N = 200010;
    static int[] tr = new int[N], sum = new int[N];
    int n, m, ans;
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void update(int val, int loc) {
        for (int i = val; i < m; i += lowbit(i)) tr[i] = Math.max(tr[i], loc);
    }
    int query(int x) {
        int ans = -1;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans = Math.max(ans, tr[i]);
        return ans;
    }
    int getIdx(List<Long> list, long x) {
        int l = 0, r = list.size() - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (list.get(mid) >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r + 1;
    }
    public int shortestSubarray(int[] nums, int k) {
        n = nums.length; m = 2 * n + 10; ans = n + 10;
        Arrays.fill(tr, -1);
        long[] temp = new long[m];
        List<Long> list = new ArrayList<>();
        list.add(0L);
        for (int i = 1; i <= 2 * n + 1; i++) {
            if (i <= n) temp[i] = temp[i - 1] + nums[i - 1];
            else temp[i] = temp[i - (n + 1)] + k;
            list.add(temp[i]);
        }
        Collections.sort(list);
        for (int i = 0; i <= 2 * n + 1; i++) sum[i] = getIdx(list, temp[i]);
        update(sum[n + 1], 0);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int j = query(sum[i]);
            if (j != -1) ans = Math.min(ans, i - j);
            update(sum[n + 1 + i], i);
        }
        return ans == n + 10 ? -1 : ans;
    }
}

  • 时间复杂度：预处理前缀和的的复杂度为 $O(n)$，排序并进行离散化的复杂度为 $O(n\log{n})$；构造答案的复杂度为 $O(n\log{n})$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$
  • 空间复杂度：$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.862 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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