LC 312. 戳气球

题目描述

这是 LeetCode 上的 312. 戳气球 ，难度为 困难。

有 n 个气球，编号为 0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。

戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。

如果 i - 1 或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：

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输入：nums = [3,1,5,8]

输出：167

解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167

示例 2：
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输入：nums = [1,5]

输出：10

提示：

  • $n = nums.length$
  • $1 <= n <= 300$
  • $0 <= nums[i] <= 100$

区间 DP

定义 $f[l][r]$ 为考虑将 $(l, r)$ 范围内（不包含 l 和 r 边界）的气球消耗掉，所能取得的最大价值。

根据题意，我们可以对 nums 进行扩充，将其从长度为 $n$ 的 nums 变为长度 $n + 2$ 的 arr，其中 $arr[1…n]$ 对应了原数组 nums，而 $arr[0] = arr[n + 1] = 1$。

此时易知 $f[0][n + 1]$ 即是答案，不失一般性考虑 $f[l][r]$ 该如何转移，假设在 $(l, r)$ 范围内最后剩下的气球的编号为 $k$，此时的 $f[l][r]$ 由「以 $k$ 为分割点的两端所产生的价值」和「消耗 $k$ 本身带来的价值」两部分组成：

为了确保转移能够顺利进行，我们需要确保在计算 $f[l][r]$ 的时候，区间长度比其小的 $f[l][k]$ 和 $f[k][r]$ 均被计算。

因此我们可以采用先枚举区间长度 len，然后枚举区间左端点 l（同时直接算得区间右端点 r）的方式来做。

Java 代码：

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class Solution {
    public int maxCoins(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] arr = new int[n + 2];
        arr[0] = arr[n + 1] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) arr[i] = nums[i - 1];
        int[][] f = new int[n + 2][n + 2];
        for (int len = 3; len <= n + 2; len++) {
            for (int l = 0; l + len - 1 <= n + 1; l++) {
                int r = l + len - 1;
                for (int k = l + 1; k <= r - 1; k++) {
                    f[l][r] = Math.max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + arr[l] * arr[k] * arr[r]);
                }
            }
        }
        return f[0][n + 1];
    }
}

C++ 代码：
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class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int arr[n + 2];
        arr[0] = arr[n + 1] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) arr[i] = nums[i - 1];
        int f[n + 2][n + 2];
        memset(f, 0, sizeof f);
        for (int len = 3; len <= n + 2; len++) {
            for (int l = 0; l + len - 1 <= n + 1; l++) {
                int r = l + len - 1;
                for (int k = l + 1; k <= r - 1; k++) {
                    f[l][r] = max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + arr[l] * arr[k] * arr[r]);
                }
            }
        }
        return f[0][n + 1];
    }
};

Python 代码：
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class Solution:
    def maxCoins(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        arr = [1] * (n + 2)
        arr[0] = arr[n + 1] = 1
        for i in range(1, n + 1):
            arr[i] = nums[i - 1]
        f = [[0] * (n + 2) for _ in range(n + 2)]
        for clen in range(3, n + 3):
            for l in range(0, n + 2 - clen + 1):
                r = l + clen - 1
                for k in range(l + 1, r):
                    f[l][r] = max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + arr[l] * arr[k] * arr[r])
        return f[0][n + 1]

TypeScript 代码：
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function maxCoins(nums: number[]): number {
    const n = nums.length
    const arr = new Array<number>(n + 2).fill(1)
    for (let i = 1; i <= n; i++) arr[i] = nums[i - 1]
    const f = new Array<Array<number>>(n + 2)
    for (let i = 0; i < n + 2; i++) f[i] = new Array<number>(n + 2).fill(0)
    for (let len = 3; len <= n + 2; len++) {
        for (let l = 0; l + len - 1 <= n + 1; l++) {
            const r = l + len - 1
            for (let k = l + 1; k <= r - 1; k++) {
                f[l][r] = Math.max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + arr[l] * arr[k] * arr[r])
            }
        }
    }
    return f[0][n + 1]
}

  • 时间复杂度：$O(n^3)$
  • 空间复杂度：$O(n^2)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.312 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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