LC 779. 第K个语法符号

题目描述

这是 LeetCode 上的 779. 第K个语法符号 ，难度为 中等。

我们构建了一个包含 n 行( 索引从 1 开始 )的表。首先在第一行我们写上一个 0。接下来的每一行，将前一行中的 0 替换为 01，1 替换为 10。

• 例如，对于 n = 3，第 1 行是 0 ，第 2 行是 01，第 3 行是 0110 。

给定行数 n 和序数 k，返回第 n 行中第 k 个字符。（ k 从索引 1 开始）

示例 1:

输入: n = 1, k = 1

输出: 0

解释: 第一行：0

示例 2:

输入: n = 2, k = 1

输出: 0

解释: 
第一行: 0 
第二行: 01

示例 3:

输入: n = 2, k = 2

输出: 1

解释:
第一行: 0
第二行: 01

提示:

• $1 <= n <= 30$
• $1 <= k <= 2^{n - 1}$

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递归（倒推验证）

整理一下条件：首行为 0，每次用当前行拓展出下一行时，字符数量翻倍（将 0 拓展为 01，将 1 拓展为 10），且字符种类仍为 01。

要求我们输出第 $n$ 行第 $k$ 列的字符，我们可以通过「倒推验证」的方式来求解：假设第 $n$ 行第 $k$ 为 1，若能倒推出首行为 $0$，说明假设成立，返回 1，否则返回 0。

倒推验证可通过实现递归函数 int dfs(int r, int c, int cur) 来做，含义为当第 $r$ 行第 $c$ 列的字符为 $cur$ 时，首行首列字符为何值。同时实现该函数是容易的：

• 若「当前列 $c$ 为偶数且 $cur = 0$」或「当前列 $c$ 为奇数且 $cur = 1$」时，说明当前列所在的组为 10，由此可推出其是由上一行的 1 拓展而来，结合每次拓展新行字符数量翻倍的条件，可知是由第 $n - 1$ 行的第 $\left \lfloor \frac{c - 1}{2} \right \rfloor + 1$ 列的 1 拓展而来，递归处理；
• 否则，同理，必然是上一行（第 $n - 1$ 行）对应位置的 0 拓展而来，递归处理。

最终，当倒推到首行时，我们找到了递归出口，直接返回 cur。

Java 代码：

class Solution {
    public int kthGrammar(int n, int k) {
        return dfs(n, k, 1) == 0 ? 1 : 0;
    }
    int dfs(int r, int c, int cur) {
        if (r == 1) return cur;
        if ((c % 2 == 0 && cur == 0) || (c % 2 == 1 && cur == 1)) return dfs(r - 1, (c - 1) / 2 + 1, 1);
        else return dfs(r - 1, (c - 1) / 2 + 1, 0);
    }
}

TypeScript 代码：

function kthGrammar(n: number, k: number): number {
    function dfs(r: number, c: number, cur: number): number {
        if (r == 1) return cur
        if ((c % 2 == 0 && cur == 0) || (c % 2 == 1 && cur == 1)) return dfs(r - 1, Math.floor((c - 1) / 2) + 1, 1)
        else return dfs(r - 1, Math.floor((c - 1) / 2) + 1, 0)
    }
    return dfs(n, k, 1) == 0 ? 1 : 0
}

Python 代码：

class Solution:
    def kthGrammar(self, n: int, k: int) -> int:
        def dfs(r, c, cur):
            if r == 1:
                return cur
            if (c % 2 == 0 and cur == 0) or (c % 2 == 1 and cur == 1):
                return dfs(r - 1, (c - 1) // 2 + 1, 1)
            else:
                return dfs(r - 1, (c - 1) // 2 + 1, 0)
        return 1 if dfs(n, k, 1) == 0 else 0

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：忽略递归带来的额外空间开销，复杂度为 $O(1)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.779 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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