LC 1092. 最短公共超序列

题目描述

这是 LeetCode 上的 1092. 最短公共超序列 ，难度为困难。

给出两个字符串 str1 和 str2，返回同时以 str1 和 str2 作为子序列的最短字符串。如果答案不止一个，则可以返回满足条件的任意一个答案。

（如果从字符串 T 中删除一些字符（也可能不删除，并且选出的这些字符可以位于 T 中的任意位置），可以得到字符串 S，那么 S 就是 T 的子序列）

示例：

输入：str1 = "abac", str2 = "cab"

输出："cabac"

解释：
str1 = "abac" 是 "cabac" 的一个子串，因为我们可以删去 "cabac" 的第一个 "c"得到 "abac"。 
str2 = "cab" 是 "cabac" 的一个子串，因为我们可以删去 "cabac" 末尾的 "ac" 得到 "cab"。
最终我们给出的答案是满足上述属性的最短字符串。

提示：

$1 <= str1.length, str2.length <= 1000$
str1 和 str2 都由小写英文字母组成。

LCS 求具体方案 + 构造

为了方便，我们令 str1 为 s1，str2 为 s2，并将两者长度记为 $n$ 和 $m$。

容易想到最终的方案必然是由三部分组成：两字符串的公共子序列（且必然是最长公共子序列）+ 两者特有的字符部分。

基于此，我们可以先使用对两者求 LCS，并在求具体方案时遵循：属于最长公共子序列的字符只添加一次，而特有于 s1 或 s2 的字符则独自添加一次。

求解 LCS 部分我们定义 $f[i][j]$ 代表考虑 $s1$ 的前 $i$ 个字符、考虑 $s2$ 的前 $j$ 的字符，形成的最长公共子序列长度（为了方便，令下标从 $1$ 开始）。

当有了「状态定义」之后，基本上「转移方程」就是呼之欲出：

s1[i]==s2[j] : $f[i][j]=f[i-1][j-1]+1$。代表必然使用 $s1[i]$ 与 $s2[j]$ 时 LCS 的长度。
s1[i]!=s2[j] : $f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])$。代表必然不使用 $s1[i]$（但可能使用$s2[j]$）时 和 必然不使用 $s2[j]$（但可能使用$s1[i]$）时 LCS 的长度。

不了解 LCS 的同学可以看前置 🧀 : LCS 模板题

当预处理出动规数组 f 之后，我们使用「双指针」和「通用 DP 求具体方案」的做法进行构造：使用 i 变量指向 s1 的尾部（即起始有 $i = n$），使用 j 变量指向 s2 的尾部（即起始有 $j = m$），根据 i 和 j 当前所在位置以及 $f[i][j]$ 从何值转移而来：

若 i 或 j 其一走完（i = 0 或 j = 0），将剩余字符追加到答案中；
当 $f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1$ 且 $s1[i] = s2[j]$ 时（可简化为 $s1[i] = s2[j]$ 判断），此时 i 指向的字符和 j 指向的字符为相同，且为 LCS 中的字符，将其追加到具体方案，并让 i 和 j 同时后移；
当 $f[i][j] = f[i - 1][j]$，将 s1[i] 追加到答案中，令 i 后移；
当 $f[i][j] = f[i][j - 1]$，将 s2[j] 追加到答案中，令 j 后移。

当条件 3 和 4 同时满足时，由于只需要输出任一具体方案，我们任取其一即可。

最后，由于我们是从后往前进行构造，在返回时需要再进行一次翻转。

Java 代码：

class Solution {
    public String shortestCommonSupersequence(String str1, String str2) {
        int n = str1.length(), m = str2.length();
        str1 = " " + str1; str2 = " " + str2;
        char[] s1 = str1.toCharArray(), s2 = str2.toCharArray();
        int[][] f = new int[n + 10][m + 10];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (s1[i] == s2[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
                else f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            }
        }
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        int i = n, j = m;
        while (i > 0 || j > 0) {
            if (i == 0) sb.append(s2[j--]);
            else if (j == 0) sb.append(s1[i--]);
            else {
                if (s1[i] == s2[j]) {
                    sb.append(s1[i]);
                    i--; j--;
                } else if (f[i][j] == f[i - 1][j]) {
                    sb.append(s1[i--]);
                } else {
                    sb.append(s2[j--]);
                }
            }
        }
        return sb.reverse().toString();
    }
}

C++ 代码：

class Solution {
public:
    string shortestCommonSupersequence(string str1, string str2) {
        int n = str1.size(), m = str2.size();
        str1 = " " + str1; str2 = " " + str2;
        vector<vector<int>> f(n + 10, vector<int>(m + 10));
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                if (str1[i] == str2[j])
                    f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
                else 
                    f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            }
        }
        string res;
        int i = n, j = m;
        while (i > 0 || j > 0) {
            if (i == 0) res += str2[j--];
            else if (j == 0) res += str1[i--];
            else {
                if (str1[i] == str2[j]) {
                    res += str1[i];
                    i--; j--;
                }
                else if (f[i][j] == f[i - 1][j]) res += str1[i--];
                else res += str2[j--];
            }
        }
        reverse(res.begin(), res.end());
        return res;
    }
};

Python 代码：

class Solution:
    def shortestCommonSupersequence(self, s1: str, s2: str) -> str:
        n, m = len(s1), len(s2)
        s1 = " " + s1
        s2 = " " + s2
        f = [[0] * (m + 10) for _ in range(n + 10)]
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, m + 1):
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1 if s1[i] == s2[j] else max(f[i - 1][j], f[i][j - 1])
        ans = ""
        i, j = n, m
        while i > 0 or j > 0:
            if i == 0:
                ans += s2[j]
                j -= 1
            elif j == 0:
                ans += s1[i]
                i -= 1
            else:
                if s1[i] == s2[j]:
                    ans += s1[i]
                    i -= 1
                    j -= 1
                elif f[i][j] == f[i - 1][j]:
                    ans += s1[i]
                    i -= 1
                else:
                    ans += s2[j]
                    j -= 1
        return ans[::-1]

TypeScript 代码：

function shortestCommonSupersequence(s1: string, s2: string): string {
    const n = s1.length, m = s2.length
    s1 = " " + s1; s2 = " " + s2
    const f = new Array<Array<number>>()
    for (let i = 0; i < n + 10; i++) f.push(new Array<number>(m + 10).fill(0))
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            if (s1[i] == s2[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1
            else f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1])
        }
    }
    let ans = ""
    let i = n, j = m
    while (i > 0 || j > 0) {
        if (i == 0) ans += s2[j--]
        else if (j == 0) ans += s1[i--]
        else {
            if (s1[i] == s2[j]) {
                ans += s1[i]
                i--; j--
            } else if (f[i][j] == f[i - 1][j]) {
                ans += s1[i--]
            } else {
                ans += s2[j--]
            }
        }
    }
    return ans.split('').reverse().join('')
};

时间复杂度：LCS 复杂度为 $O(n \times m)$；构造答案复杂度为 $O(n \times m)$。整体复杂度为 $O(n \times m)$
空间复杂度：$O(n \times m)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1092 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

动态规划序列 DP 双指针最长公共子序列 LCS 构造

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