LC 1206. 设计跳表

题目描述

这是 LeetCode 上的 1206. 设计跳表 ，难度为 困难。

不使用任何库函数，设计一个 跳表 。

跳表 是在 $O(log{n})$ 时间内完成增加、删除、搜索操作的数据结构。跳表相比于树堆与红黑树，其功能与性能相当，并且跳表的代码长度相较下更短，其设计思想与链表相似。

例如，一个跳表包含 [30, 40, 50, 60, 70, 90]，然后增加 80、45 到跳表中，以下图的方式操作：

跳表中有很多层，每一层是一个短的链表。在第一层的作用下，增加、删除和搜索操作的时间复杂度不超过 $O(n)$。跳表的每一个操作的平均时间复杂度是 $O(\log{n})$，空间复杂度是 $O(n)$。

在本题中，你的设计应该要包含这些函数：

  • bool search(int target): 返回 target 是否存在于跳表中。
  • void add(int num): 插入一个元素到跳表。
  • bool erase(int num): 在跳表中删除一个值，如果 num 不存在，直接返回 false. 如果存在多个 num ，删除其中任意一个即可。

注意，跳表中可能存在多个相同的值，你的代码需要处理这种情况。

示例 1:

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输入
["Skiplist", "add", "add", "add", "search", "add", "search", "erase", "erase", "search"]
[[], [1], [2], [3], [0], [4], [1], [0], [1], [1]]

输出
[null, null, null, null, false, null, true, false, true, false]

解释
Skiplist skiplist = new Skiplist();
skiplist.add(1);
skiplist.add(2);
skiplist.add(3);
skiplist.search(0);   // 返回 false
skiplist.add(4);
skiplist.search(1);   // 返回 true
skiplist.erase(0);    // 返回 false，0 不在跳表中
skiplist.erase(1);    // 返回 true
skiplist.search(1);   // 返回 false，1 已被擦除

提示:

  • $0 <= num, target <= 2 \times 10^4$
  • 调用 search, add, erase 操作次数不大于 $5 \times 10^44$

数据结构

对于单链表而言，所有的操作（增删改查）都遵循「先查找，再操作」的步骤，这导致在单链表上所有操作复杂度均为 $O(n)$（瓶颈在于查找过程）。

跳表相对于单链表，则是通过引入「多层」链表来优化查找过程，其中每层链表均是「有序」链表：

  • 对于单链表的 Node 设计而言，我们只需存储对应的节点值 val，以及当前节点的下一节点的指针 ne 即可（ne 为一指针变量）

  • 对于跳表来说，除了存储对应的节点值 val 以外，我们需要存储当前节点在「每一层」的下一节点指针 ne（ne 为指针数组）

跳表的 level 编号从下往上递增，最下层的链表为元素最全的有序单链表，而查找过程则是按照 level 从上往下进行。

image.png

操作次数的数据范围为 $n = 5 \times 10^4$，因此设计最大的 level 为 $\log{n}$ 即可确保复杂度，但由于操作次数 $n = 5 \times 10^4$ 不可能全是 add 操作，因此这里直接取 level 为 $10$。

同时为了简化，建立一个哨兵节点 he，哨兵值的值应当足够小（根据数据范围，设定为 $-1$ 即可），所有的操作（假设当前操作的传入值为 t），先进行统一化的查找：查找出每一层比 t 严格小的最后一个节点，将其存成 ns 数组。即 $ns[i]$ 为 $level = i$ 层严格比 $t$ 小的最后一个节点。

再根据不同的操作进行下一步动作：

  • search 操作：由于最后一层必然是元素最全的单链表，因此可以直接访问 ns[0].ne[0] 即是所有元素中满足大于等于 t 的第一个元素，通过判断其值与传入值 t 的大小关系来决定结果；
  • add 操作：由于最后一层必然是元素最全的单链表，因此我们「从下往上」进行插入，最底下一层必然要插入，然后以一半的概率往上传递；
  • erase 操作：与 add 操作互逆，按照「从下往上」的顺序进行删除。需要注意的是，由于相同的值在跳表中可能存在多个，因此我们在「从下往上」删除过程中需要判断待删除的元素与 ns[0].ne[0] 是否为同一元素（即要判断地址是否相同，而不是值相同）。

Java 代码：

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class Skiplist {
    int level = 10;
    class Node {
        int val;
        Node[] ne = new Node[level];
        Node (int _val) {
            val = _val;
        }
    }
    Random random = new Random();
    Node he = new Node(-1);
    void find(int t, Node[] ns) {
        Node cur = he;
        for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
            while (cur.ne[i] != null && cur.ne[i].val < t) cur = cur.ne[i];
            ns[i] = cur;
        }
    }
    public boolean search(int t) {
        Node[] ns = new Node[level];
        find(t, ns);
        return ns[0].ne[0] != null && ns[0].ne[0].val == t;
    }
    public void add(int t) {
        Node[] ns = new Node[level];
        find(t, ns);
        Node node = new Node(t);
        for (int i = 0; i < level; i++) {
            node.ne[i] = ns[i].ne[i];
            ns[i].ne[i] = node;
            if (random.nextInt(2) == 0) break;
        }
    }
    public boolean erase(int t) {
        Node[] ns = new Node[level];
        find(t, ns);
        Node node = ns[0].ne[0];
        if (node == null || node.val != t) return false;
        for (int i = 0; i < level && ns[i].ne[i] == node; i++) ns[i].ne[i] = ns[i].ne[i].ne[i];
        return true;
    }
}

TypeScript 代码：
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const level: number = 10
class TNode {
    val: number
    ne: TNode[] = new Array<TNode>(level)
    constructor(_val: number) {
        this.val = _val
    } 
}
class Skiplist {
    he: TNode = new TNode(-1)
    find(t: number, ns: TNode[]): void {
        let cur = this.he
        for (let i = level - 1; i >= 0; i--) {
            while (cur.ne[i] != null && cur.ne[i].val < t) cur = cur.ne[i]
            ns[i] = cur
        }
    }
    search(t: number): boolean {
        let ns: TNode[] = new Array<TNode>(level)
        this.find(t, ns)
        return ns[0].ne[0] != null && ns[0].ne[0].val == t
    }
    add(t: number): void {
        let ns: TNode[] = new Array<TNode>(level)
        this.find(t, ns)
        const node = new TNode(t)
        for (let i = 0; i < level; i++) {
            node.ne[i] = ns[i].ne[i]
            ns[i].ne[i] = node
            if (Math.round(Math.random()) == 0) break
        }
    }
    erase(t: number): boolean {
        let ns: TNode[] = new Array<TNode>(level)
        this.find(t, ns)
        const node = ns[0].ne[0]
        if (node == null || node.val != t) return false
        for (let i = 0; i < level && ns[i].ne[i] == node; i++) ns[i].ne[i] = ns[i].ne[i].ne[i]
        return true
    }
}

  • 时间复杂度：所有操作的复杂度瓶颈在于 find 查找，find 查找期望复杂度为 $O(\log{n})$
  • 空间复杂度：$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1206 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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链表 数据结构

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