LC 689. 三个无重叠子数组的最大和

题目描述

这是 LeetCode 上的 689. 三个无重叠子数组的最大和 ，难度为 困难。

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，找出三个长度为 k 、互不重叠、且 3 * k 项的和最大的子数组，并返回这三个子数组。

以下标的数组形式返回结果，数组中的每一项分别指示每个子数组的起始位置（下标从 $0$ 开始）。如果有多个结果，返回字典序最小的一个。

示例 1：

输入：nums = [1,2,1,2,6,7,5,1], k = 2

输出：[0,3,5]

解释：子数组 [1, 2], [2, 6], [7, 5] 对应的起始下标为 [0, 3, 5]。
也可以取 [2, 1], 但是结果 [1, 3, 5] 在字典序上更大。

示例 2：

输入：nums = [1,2,1,2,1,2,1,2,1], k = 2

输出：[0,2,4]

提示：

• $1 <= nums.length <= 2 * 10^4$
• $1 <= nums[i] < 2^{16}$
• $1 <= k <= floor(nums.length / 3)$

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前缀和 + 序列 DP

若不考虑输出方案，仅是求「三个无重叠子数组的最大和」的最大值。

只需要使用动态规划求解即可：定义 $f[i][j]$ 为考虑前 $i$ 个数，凑成无重叠子数组数量为 $j$ 个时的最大值。

最终答案为 $f[n - 1][3]$。

不失一般性的考虑 $f[i][j]$ 该如何计算（以最优方案是否包含 $nums[i]$ 进行讨论）：

• 最优方案中包含 $num[i]$：由于这 $j$ 个无重叠，因此前面的 $j - 1$ 个子数组不能覆盖 $[i - k + 1, i]$。即只能在 $[0, i - k]$ 中选 $j - 1$ 个子数组。此时有：

$$f[i][j] = f[i - k][j - 1] + \sum_{idx = i - k + 1}^{i} nums[idx]$$

其中求解 $\sum_{idx = i - k + 1}^{i} nums[idx]$ 部分可以使用「前缀和」优化

• 最优方案不包含 $num[i]$：当明确了 $nums[i]$ 对最优方案无贡献，此时问题等价于考虑前 $i - 1$ 个数，凑成 $j$ 个不重叠子数组的最大值。此时有：

$$f[i][j] = f[i - 1][j]$$

最终 $f[i][j]$ 为上述两种方案中的最大值。

然后考虑「如何回溯出字典序最小的具体方案」，常规的回溯具体方案的做法是，从最终答案 $f[n - 1][3]$ 开始往回追溯。

利用 $f[n - 1][3]$ 仅由两个可能的节点（$f[n - 2][3]$ 和 $f[n - 1 - k][2]$）转移而来，通过判断 $f[n - 1][3]$ 等于 $f[n - 2][3]$ 还是 $f[n - 1 - k][2] + \sum_{idx = n - k }^{n - 1} nums[idx]$ 来决定回溯点为何值。

但该做法只能确保回溯出字典序最大的方案是正确（当两个可能的前驱节点都能转移到 $f[i][j]$ 时优先采纳靠后的位置），而我们需要回溯出字典序最小的方案。

在上述解法的基础上，有两种「求解字典序最小具体方案」的做法：

1. 将正序 DP 调整为反序 DP。修改状态定义为 $f[i][j]$ 为考虑 $[i, n - 1]$ 中进行选择，凑出无重叠子数组数量为 $j$ 个时的最大值（最终答案为 $f[0][3]$）。转移过程分析同理，然后从下标 $idx = 0$ 开始进行回溯，优先采纳 $idx$ 小的方案即可；

2. 仍然采取正序 DP 的做法，但对原数组进行翻转，从而将回溯「字典序最大」转换为「字典序最小」具体方案。

一些细节：为了避免对边界的处理，我们令动规数组 $f$ 和前缀和数组 $sun$ 的下标从 $1$ 开始。

代码（$P1$ 为反序 DP 做法，$P2$ 为翻转数组做法）：

class Solution {
    public int[] maxSumOfThreeSubarrays(int[] nums, int k) {
        int n = nums.length;
        long[] sum = new long[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
        long[][] f = new long[n + 10][4];
        for (int i = n - k + 1; i >= 1; i--) {
            for (int j = 1; j < 4; j++) {
                f[i][j] = Math.max(f[i + 1][j], f[i + k][j - 1] + sum[i + k - 1] - sum[i - 1]);
            }
        }
        int[] ans = new int[3];
        int i = 1, j = 3, idx = 0;
        while (j > 0) {
            if (f[i + 1][j] > f[i + k][j - 1] + sum[i + k - 1] - sum[i - 1]) {
                i++;
            } else {
                ans[idx++] = i - 1;
                i += k; j--;
            }
        }
        return ans;
    }
}

class Solution {
    public int[] maxSumOfThreeSubarrays(int[] nums, int k) {
        int n = nums.length;
        reverse(nums);
        long[] sum = new long[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
        long[][] f = new long[n + 10][4];
        for (int i = k; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j < 4; j++) {
                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i - k][j - 1] + sum[i] - sum[i - k]);
            }
        }
        int[] ans = new int[3];
        int i = n, j = 3, idx = 0;
        while (j > 0) {
            if (f[i - 1][j] > f[i - k][j - 1] + sum[i] - sum[i - k]) {
                i--;
            } else {
                ans[idx++] = n - i;
                i -= k; j--;
            }
        }
        return ans;
    }
    void reverse(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int c = nums[l];
            nums[l++] = nums[r];
            nums[r--] = c;
        }
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.689 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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