LC 1239. 串联字符串的最大长度

题目描述

这是 LeetCode 上的 1239. 串联字符串的最大长度 ，难度为中等。

给定一个字符串数组 arr，字符串 s 是将 arr 某一子序列字符串连接所得的字符串，如果 s 中的每一个字符都只出现过一次，那么它就是一个可行解。

请返回所有可行解 s 中最长长度。

示例 1：

输入：arr = ["un","iq","ue"]

输出：4

解释：所有可能的串联组合是 "","un","iq","ue","uniq" 和 "ique"，最大长度为 4。

示例 2：

输入：arr = ["cha","r","act","ers"]

输出：6

解释：可能的解答有 "chaers" 和 "acters"。

示例 3：

1
2
3

输入：arr = ["abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"]

输出：26

提示：

$1 <= arr.length <= 16$
$1 <= arr[i].length <= 26$
arr[i] 中只含有小写英文字母

基本分析

根据题意，可以将本题看做一类特殊的「数独问题」：在给定的 arr 字符数组中选择，尽可能多的覆盖一个 $1 \times 26$ 的矩阵。

对于此类「精确覆盖」问题，换个角度也可以看做「组合问题」。

通常有几种做法：DFS、剪枝 DFS、二进制枚举、模拟退火、DLX。

其中一头一尾解法过于简单和困难，有兴趣的同学自行了解与实现。

剪枝 DFS

根据题意，可以有如下的剪枝策略：

预处理掉「本身具有重复字符」的无效字符串，并去重；
由于只关心某个字符是否出现，而不关心某个字符在原字符串的位置，因此可以将字符串使用 int 进行表示；
由于使用 int 进行表示，因而可以使用「位运算」来判断某个字符是否可以被追加到当前状态中；
DFS 过程中维护一个 total，代表后续未经处理的字符串所剩余的“最大价值”是多少，从而实现剪枝；
使用 lowbit 计算某个状态对应的字符长度是多少；
使用「全局哈希表」记录某个状态对应的字符长度是多少（使用 static 修饰，确保某个状态在所有测试数据中只会被计算一次）；
【未应用】由于存在第 $4$ 点这样的「更优性剪枝」，理论上我们可以根据「字符串所包含字符数量」进行从大到小排序，然后再进行 DFS 这样效果理论上会更好。想象一下如果存在一个包含所有字母的字符串，先选择该字符串，后续所有字符串将不能被添加，那么由它出发的分支数量为 $0$；而如果一个字符串只包含单个字母，先决策选择该字符串，那么由它出发的分支数量必然大于 $0$。但该策略实测效果不好，没有添加到代码中。

代码：

class Solution {
    // 本来想使用如下逻辑将「所有可能用到的状态」打表，实现 O(1) 查询某个状态有多少个字符，但是被卡了
    // static int N = 26, M = (1 << N);
    // static int[] cnt = new int[M];
    // static {
    //     for (int i = 0; i < M; i++) {
    //         for (int j = 0; j < 26; j++) {
    //             if (((i >> j) & 1) == 1) cnt[i]++;
    //         }
    //     }
    // }

    static Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
    int get(int cur) {
        if (map.containsKey(cur)) {
            return map.get(cur);
        }
        int ans = 0;
        for (int i = cur; i > 0; i -= lowbit(i)) ans++;
        map.put(cur, ans);
        return ans;
    }
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }

    int n;
    int ans = Integer.MIN_VALUE;
    int[] hash;
    public int maxLength(List<String> _ws) {
        n = _ws.size();
        HashSet<Integer> set = new HashSet<>();
        for (String s : _ws) {
            int val = 0;
            for (char c : s.toCharArray()) {
                int t = (int)(c - 'a');
                if (((val >> t) & 1) != 0) {
                    val = -1;
                    break;
                } 
                val |= (1 << t);
            }
            if (val != -1) set.add(val);
        }

        n = set.size();
        if (n == 0) return 0;
        hash = new int[n];

        int idx = 0;
        int total = 0;
        for (Integer i : set) {
            hash[idx++] = i;
            total |= i;
        }
        dfs(0, 0, total);
        return ans;
    }
    void dfs(int u, int cur, int total) {
        if (get(cur | total) <= ans) return;
        if (u == n) {
            ans = Math.max(ans, get(cur));
            return;
        }
        // 在原有基础上，选择该数字（如果可以）
        if ((hash[u] & cur) == 0) {
            dfs(u + 1, hash[u] | cur, total - (total & hash[u]));
        }
        // 不选择该数字
        dfs(u + 1, cur, total);
    }
}

二进制枚举

首先还是对所有字符串进行预处理。

然后使用「二进制枚举」的方式，枚举某个字符串是否被选择。

举个🌰，$(110){2}$ 代表选择前两个字符串，$(011){2}$ 代表选择后两个字符串，这样我们便可以枚举出所有组合方案。

代码：

class Solution {
    static Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
    int get(int cur) {
        if (map.containsKey(cur)) {
            return map.get(cur);
        }
        int ans = 0;
        for (int i = cur; i > 0; i -= lowbit(i)) ans++;
        map.put(cur, ans);
        return ans;
    }
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }

    int n;
    int ans = Integer.MIN_VALUE;
    Integer[] hash;
    public int maxLength(List<String> _ws) {
        n = _ws.size();
        HashSet<Integer> set = new HashSet<>();
        for (String s : _ws) {
            int val = 0;
            for (char c : s.toCharArray()) {
                int t = (int)(c - 'a');
                if (((val >> t) & 1) != 0) {
                    val = -1;
                    break;
                } 
                val |= (1 << t);
            }
            if (val != -1) set.add(val);
        }

        n = set.size();
        if (n == 0) return 0;
        hash = new Integer[n];
        int idx = 0;
        for (Integer i : set) hash[idx++] = i;

        for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {
            int cur = 0, val = 0;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (((i >> j) & 1) == 1) {
                    if ((cur & hash[j]) == 0) {
                        cur |= hash[j];
                        val += get(hash[j]);
                    } else {
                        cur = -1;
                        break;
                    }
                }
            }
            if (cur != -1) ans = Math.max(ans, val);
        }
        return ans;
    }
}

模拟退火

事实上，可以将原问题看作求「最优前缀序列」问题，从而使用「模拟退火」进行求解。

具体的，我们可以定义「最优前缀序列」为 组成最优解所用到的字符串均出现在排列的前面。

举个🌰，假如构成最优解使用到的字符串集合为 [a,b,c]，那么对应 [a,b,c,...]、[a,c,b,...] 均称为「最优前缀序列」。

不难发现，答案与最优前缀序列是一对多关系，这指导我们可以将「参数」调得宽松一些。

具有「一对多」关系的问题十分适合使用「模拟退火」，使用「模拟退火」可以轻松将本题 arr.length 数据范围上升到 $60$ 甚至以上。

调整成比较宽松的参数可以跑赢「二进制枚举」，但为了以后增加数据不容易被 hack，还是使用 N=400 & fa=0.90 的搭配。

「模拟退火」的几个参数的作用在这里说过了，不再赘述。

代码：

class Solution {
    static Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
    int get(int cur) {
        if (map.containsKey(cur)) {
            return map.get(cur);
        }
        int ans = 0;
        for (int i = cur; i > 0; i -= lowbit(i)) ans++;
        map.put(cur, ans);
        return ans;
    }
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }

    int n;
    int ans = Integer.MIN_VALUE;    
    Random random = new Random(20210619);
    double hi = 1e4, lo = 1e-4, fa = 0.90; 
    int N = 400; 
    int calc() {
        int mix = 0, cur = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int hash = ws[i];
            if ((mix & hash) == 0) {
                mix |= hash;
                cur += get(hash);
            } else {
                break;
            }
        }
        ans = Math.max(ans, cur);
        return cur;
    }
    void shuffle(int[] nums) {
        for (int i = n; i > 0; i--) {
            int idx = random.nextInt(i);
            swap(nums, idx, i - 1);
        }
    }
    void swap(int[] nums, int a, int b) {
        int c = nums[a];
        nums[a] = nums[b];
        nums[b] = c;
    }
    void sa() {
        shuffle(ws);
        for (double t = hi; t > lo; t *= fa) {
            int a = random.nextInt(n), b = random.nextInt(n);
            int prev = calc(); 
            swap(ws, a, b);
            int cur = calc(); 
            int diff = cur - prev;
            if (Math.log(-diff / t) > random.nextDouble()) swap(ws, a, b);
        }
    }
    int[] ws;
    public int maxLength(List<String> _ws) {
        // 预处理字符串：去重，剔除无效字符
        // 结果这一步后：N 可以下降到 100；fa 可以下降到 0.70，耗时约为 78 ms
        // 为了预留将来添加测试数据，题解还是保持 N = 400 & fa = 0.90 的配置
        n = _ws.size();
        HashSet<Integer> set = new HashSet<>();
        for (String s : _ws) {
            int val = 0;
            for (char c : s.toCharArray()) {
                int t = (int)(c - 'a');
                if (((val >> t) & 1) != 0) {
                    val = -1;
                    break;
                } 
                val |= (1 << t);
            }
            if (val != -1) set.add(val);
        }

        n = set.size();
        if (n == 0) return 0;
        ws = new int[n];
        int idx = 0;
        for (Integer i : set) ws[idx++] = i;

        while (N-- > 0) sa();
        return ans;
    }
}

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1239 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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