LC 1760. 袋子里最少数目的球

题目描述

这是 LeetCode 上的 1760. 袋子里最少数目的球 ，难度为 中等。

给你一个整数数组 nums，其中 nums[i] 表示第 i 个袋子里球的数目。同时给你一个整数 maxOperations。

你可以进行如下操作至多 maxOperations 次：

• 选择任意一个袋子，并将袋子里的球分到 2 个新的袋子中，每个袋子里都有 正整数 个球。
  • 比方说，一个袋子里有 5 个球，你可以把它们分到两个新袋子里，分别有 1 个和 4 个球，或者分别有 2 个和 3 个球。
    你的开销是单个袋子里球数目的 最大值 ，你想要 最小化 开销。

请你返回进行上述操作后的最小开销。

示例 1：

输入：nums = [9], maxOperations = 2

输出：3

解释：
- 将装有 9 个球的袋子分成装有 6 个和 3 个球的袋子。[9] -> [6,3] 。
- 将装有 6 个球的袋子分成装有 3 个和 3 个球的袋子。[6,3] -> [3,3,3] 。
装有最多球的袋子里装有 3 个球，所以开销为 3 并返回 3 。

示例 2：

输入：nums = [2,4,8,2], maxOperations = 4

输出：2

解释：
- 将装有 8 个球的袋子分成装有 4 个和 4 个球的袋子。[2,4,8,2] -> [2,4,4,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,4,4,4,2] -> [2,2,2,4,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,4,4,2] -> [2,2,2,2,2,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,2,2,4,2] -> [2,2,2,2,2,2,2,2] 。
装有最多球的袋子里装有 2 个球，所以开销为 2 并返回 2 。

示例 3：

输入：nums = [7,17], maxOperations = 2

输出：7

提示：

• $1 <= nums.length <= 10^5$
• $1 <= maxOperations, nums[i] <= 10^9$

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二分

最小化不超过 max 次划分操作后的单个袋子最大值，我们将其称为「划分值」。

答案具有二段性：若使用 $k \leq \max$ 次划分操作后可达到最小划分值，此时减少划分操作次数，会使得划分值非单调上升。

因此我们可以二分答案，从而将问题进行等价转换：

假设当前二分到的值为 $limit$，我们需要实现一个线性复杂度为 check 函数，判断能否使用不超过 $\max$ 次划分次数，来使得划分值不超过 $limit$：

• 若能满足，说明 $[limit, +\infty]$ 范围的划分值，均能使用不超过 $\max$ 次的实现，此时让 $r = limit$
• 若不能满足，比 $limit$ 更小的划分值，则更无法在 $\max$ 次操作中满足，说明 $[1, limit]$ 范围划分值均不是答案，此时让 $l = limit + 1$

考虑如何实现 check 函数，从前往后处理每个 $nums[i]$，根据 $nums[i]$ 与当前限制 $limit$ 的大小关系进行分情况讨论：

• 若 $nums[i] \leq limit$：说明当前袋子不会成为瓶颈，无须消耗划分次数
• 若 $nums[i] > limit$：此时需要对当前袋子进行划分，直到满足单个袋子球的数量不超过 $limit$ 为止，由于每次划分相当于增加一个袋子，而将 $nums[i]$ 划分成若干个不超过 $limit$ 个球的袋子，需要 $\left \lceil \frac{nums[i]}{limit} \right \rceil$ 个袋子，减去原本的一个，共需要增加 $\left \lceil \frac{nums[i]}{limit} \right \rceil$ 个新袋子，即划分 $\left \lceil \frac{nums[i]}{limit} \right \rceil$ 次

Java 代码：

class Solution {
    public int minimumSize(int[] nums, int max) {
        int l = 1, r = 0x3f3f3f3f;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(nums, mid, max)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
    boolean check(int[] nums, int limit, int max) {
        int cnt = 0;
        for (int x : nums) cnt += Math.ceil(x * 1.0 / limit) - 1;
        return cnt <= max;
    }
}

C++ 代码：

class Solution {
public:
    int minimumSize(vector<int>& nums, int maxv) {
        int l = 1, r = 0x3f3f3f3f;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(nums, mid, maxv)) r = mid;    
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
    bool check(vector<int>& nums, int limit, int maxv) {
        int cnt = 0;
        for (int x : nums) cnt += ceil(x * 1.0 / limit) - 1;
        return cnt <= maxv;
    }
};

Python 代码：

class Solution:
    def minimumSize(self, nums: List[int], maxv: int) -> int:
        def check(nums, limit, maxv):
            return sum([(x + limit - 1) // limit - 1 for x in nums]) <= maxv
        l, r = 1, 0x3f3f3f3f
        while l < r:
            mid = l + r >> 1
            if check(nums, mid, maxv):
                r = mid
            else:
                l = mid + 1
        return r

TypeScript 代码：

function minimumSize(nums: number[], max: number): number {
    function check(nums: number[], limit: number, max: number): boolean {
        let cnt = 0
        for (const x of nums) cnt += Math.ceil(x / limit) - 1
        return cnt <= max
    }
    let l = 1, r = 0x3f3f3f3f
    while (l < r) {
        const mid = l + r >> 1
        if (check(nums, mid, max)) r = mid
        else l = mid + 1
    }
    return r
}

• 时间复杂度：$O(n \log{M})$，其中 $M = 1e9$ 为值域大小
• 空间复杂度：$O(1)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1758 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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