LC 109. 有序链表转换二叉搜索树

题目描述

这是 LeetCode 上的 109. 有序链表转换二叉搜索树 ，难度为中等

给定一个单链表的头节点 head，其中的元素按升序排序，将其转换为高度平衡的二叉搜索树。

本题中，一个高度平衡二叉树是指一个二叉树每个节点的左右两个子树的高度差不超过 $1$。

示例 1:

输入: head = [-10,-3,0,5,9]

输出: [0,-3,9,-10,null,5]

解释: 一个可能的答案是[0，-3,9，-10,null,5]，它表示所示的高度平衡的二叉搜索树。

示例 2:

1
2
3

输入: head = []

输出: []

提示:

head 中的节点数在 $[0, 2 \times 10^4]$ 范围内
$-10^5 <= Node.val <= 10^5$

递归分治

与上一题 108. 将有序数组转换为二叉搜索树类似，但链表相对于数组，无法 $O(1)$ 找到构建当前 BST 根节点的“中点”下标。

一个仍可确保 $O(n)$ 时间复杂度（瓶颈在于需要创建 $n$ 个节点），但需要 $O(n)$ 空间复杂度的做法是：对链表进行一次遍历，转成数组后套用上一题的做法。

一个不使用 $O(n)$ 空间复杂度的做法，需要每次遍历来找“中点”下标：起始我们先对 head 进行一次遍历，得到链表长度 $n$，随后仍然利用递归分治的思路进行构造，每次对入参的左右端点找“中点”，先通过直接结算的方式定位到偏移量 $t = l + \left \lfloor \frac{l + r}{2} \right \rfloor$，然后再通过从入参节点 head 出发往前走 $t$ 的做法找到“中点”节点。

该做法每个节点的访问次数为在递归过程中被 $[l, r]$ 所覆盖的次数，我们知道一个节点数量为 $n$ 的平衡 BST 树高为 $\log{n}$，因此整体复杂度为 $O(n\log{n})$。

Java 代码：

class Solution {
    public TreeNode sortedListToBST(ListNode head) {
        int n = 0;
        ListNode cur = head;
        while (cur != null && ++n >= 0) cur = cur.next;
        return build(head, 0, n - 1);
    }
    TreeNode build(ListNode head, int l, int r) {
        if (l > r) return null;
        int mid = l + r >> 1, t = mid - l;
        ListNode cur = head;
        while (t-- > 0) cur = cur.next;
        TreeNode ans = new TreeNode(cur.val);
        ans.left = build(head, l, mid - 1);
        ans.right = build(cur.next, mid + 1, r);
        return ans;
    }
}

Python 代码：

class Solution:
    def sortedListToBST(self, head: Optional[ListNode]) -> Optional[TreeNode]:
        n = 0
        cur = head
        while cur:
            n += 1
            cur = cur.next
        return self.build(head, 0, n - 1)
        
    def build(self, head: ListNode, l: int, r: int) -> TreeNode:
        if l > r:
            return None
        mid = l + r >> 1
        t = mid - l
        cur = head
        while t > 0:
            cur = cur.next
            t -= 1
        ans = TreeNode(cur.val)
        ans.left = self.build(head, l, mid - 1)
        ans.right = self.build(cur.next, mid + 1, r)
        return ans

C++ 代码：

class Solution {
public:
    TreeNode* sortedListToBST(ListNode* head) {
        int n = 0;
        ListNode* cur = head;
        while (cur && ++n >= 0) cur = cur->next;
        return build(head, 0, n - 1);
    }
    TreeNode* build(ListNode* head, int l, int r) {
        if (l > r) return nullptr;
        int mid = l + r >> 1, t = mid - l;
        ListNode* cur = head;
        while (t-- > 0) cur = cur->next;
        TreeNode* ans = new TreeNode(cur->val);
        ans->left = build(head, l, mid - 1);
        ans->right = build(cur->next, mid + 1, r);
        return ans;
    }
};

TypeScript 代码：

function sortedListToBST(head: ListNode | null): TreeNode | null {
    const build = function (head: ListNode | null, l: number, r: number): TreeNode | null {
        if (l > r) return null;
        let mid = l + r >> 1, t = mid - l;
        let cur = head;
        while (t-- > 0) cur = cur.next;
        const ans = new TreeNode(cur!.val);
        ans.left = build(head, l, mid - 1);
        ans.right = build(cur!.next, mid + 1, r);
        return ans;
    }
    let n = 0;
    let cur = head;
    while (cur != null && ++n >= 0) cur = cur.next;       
    return build(head, 0, n - 1);
}

时间复杂度：$O(n\log{n})$
空间复杂度：$O(n)$

递归分治 - 中序遍历

由于给定的 nums 本身严格有序，而 BST 的中序遍历亦是有序。因此我们可以一边遍历链表，一边对 BST 进行构造。

具体的，我们仍然先对链表进行遍历，拿到链表长度 n。递归构造过程中传入左右端点 l 和 r，含义为使用链表中 $[l, r]$ 部分节点，但不再在每次递归中传入当前头结点，而是使用全局变量 head 来记录。

递归构造过程中，计算“中点”位置 $mid = \left \lfloor \frac{l + r}{2} \right \rfloor$，并根据如下流程进行构造：

使用 $[l, mid - 1]$ 构建左子树，使用变量 left 保存当前左子树的根节点
构建完左子树后，全局变量 head 必然来到了“中点”位置，用其构建根节点 ans，并将根节点与此前构造的 left 关联。同时让链表节点 head 后移
使用 $[mid + 1, r]$ 构建右子树，并将其挂载到根节点 ans 中

如此一来，即可确保「链表遍历」和「BST 构造」的同步性。

Java 代码：

class Solution {
    ListNode head;
    public TreeNode sortedListToBST(ListNode _head) {
        head = _head;
        int n = 0;
        ListNode cur = head;
        while (cur != null && ++n >= 0) cur = cur.next;
        return build(0, n - 1);
    }
    TreeNode build(int l, int r) {
        if (l > r) return null;
        int mid = l + r >> 1;
        TreeNode left = build(l, mid - 1); 
        TreeNode ans = new TreeNode(head.val);
        head = head.next;
        ans.left = left;
        ans.right = build(mid + 1, r);
        return ans;
    }
}

Python 代码：

class Solution:
    def sortedListToBST(self, head: Optional[ListNode]) -> Optional[TreeNode]:
        self.head = head
        n = 0
        cur = self.head
        while cur is not None:
            n += 1
            cur = cur.next
        return self.build(0, n - 1)

    def build(self, l: int, r: int) -> TreeNode:
        if l > r:
            return None
        mid = l + r >> 1
        left = self.build(l, mid - 1)
        ans = TreeNode(self.head.val)
        ans.left = left
        self.head = self.head.next
        ans.right = self.build(mid + 1, r)
        return ans

C++ 代码：

class Solution {
public:
    ListNode* head;
    TreeNode* sortedListToBST(ListNode* _head) {
        head = _head;
        int n = 0;
        ListNode* cur = head;
        while (cur && n++ >= 0) cur = cur->next;
        return build(0, n - 1);
    }
    TreeNode* build(int l, int r) {
        if (l > r) return nullptr;
        int mid = l + r >> 1;
        TreeNode* left = build(l, mid - 1);
        TreeNode* ans = new TreeNode(head->val);
        ans->left = left;
        head = head->next;
        ans->right = build(mid + 1, r);
        return ans;
    }
};

TypeScript 代码：

function sortedListToBST(_head: ListNode | null): TreeNode | null {
    const build =function(l: number, r: number): TreeNode | null {
        if (l > r) return null;
        const mid = l + r >> 1;
        const left = build(l, mid - 1);
        const ans = new TreeNode(head.val);
        ans.left = left;
        head = head.next;
        ans.right = build(mid + 1, r);
        return ans;
    }
    let head = _head;
    let n = 0, cur = head;
    while (cur && n++ >= 0) cur = cur.next;
    return build(0, n - 1);
}

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(\log{n})$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.109 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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二叉树中序遍历树的搜索分治

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