LC 754. 到达终点数字

题目描述

这是 LeetCode 上的 754. 到达终点数字 ,难度为 中等

在一根无限长的数轴上,你站在 0 的位置。终点在 target 的位置。

你可以做一些数量的移动 numMoves :

  • 每次你可以选择向左或向右移动。
  • i 次移动(从 i == 1 开始,到 i == numMoves),在选择的方向上走 i 步。

给定整数 target,返回 到达目标所需的 最小 移动次数(即最小 numMoves ) 。

示例 1:

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输入: target = 2

输出: 3

解释:
第一次移动,从 0 1
第二次移动,从 1 到 -1 。
第三次移动,从 -1 到 2

示例 2:
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输入: target = 3

输出: 2

解释:
第一次移动,从 0 1
第二次移动,从 1 3

提示:

  • $-10^9 <= target <= 10^9$
  • $target != 0$

数学

提示一:数轴上的任意点都以起点($0$ 点)对称,只需要考虑对称点的任意一边

由于题目没有限制我们「不能到达哪些点」以及「出发的起始方向」,因此以起点为中心的左右两边对称。

即:左边所能到达任意一个点,都能通过调整所达路径的方向来将终点调整到右边。

同时由于起点是一个特殊的位置 $0$ 点,因此相应的「正数点」和「负数点」对称,我们仅需考虑一边(例如正数域)即可。

提示二:先往靠近 target 的方向移动,到达或越过 target 的时候则停止

只考虑 target 为正的情况,我们假定起始先往靠近 target 的方向移动(即所有步数均为正值),根据是「到达」还是「越过」target 位置分情况讨论:

  • 若能直接到达 target,此时消耗的必然是最小步数,可直接返回;
  • 若越过了 target,假设此时消耗的步数为 $k$,所走的距离为 $dist = \frac{k \times (k + 1)}{2} > target$,我们可以考虑是否需要增加额外步数来到达 target

提示三:越过 target 时,如何不引入额外步数

若不引入额外步数,意味着我们需要将此前某些移动的方向进行翻转,使得调整后的 $dist = target$。

我们假设需要调整的步数总和为 tot,则有 $dist - 2 \times tot = target$,变形可得 $tot = \frac{dist - target}{2}$。

若想满足上述性质,需要确保能找到这样的 tot,即 tot 合法,

不难推导出当 disttarget 差值为「偶数」时(两者奇偶性相同),我们可以找到这样的 tot,从而实现不引入额外步数来到达 target 位置。

由于我们的 $dist$ 是由数列 $[1,2,3,…,k]$ 累加而来,因此必然能够在该数列 $[1,2,3…k]$ 中通过「不重复选择某些数」来凑成任意一个小于等于 $dist$ 的数。

提示四:越过 target 时,如何尽量减少引入额外步数

disttarget 差值不为「偶数」时,我们只能通过引入额外步数(继续往右走)来使得,两者差值为偶数。

可以证明,最多引入步数不超过 $4$ 步,可使用得两者奇偶性相同,即不超过 $4$ 步可以覆盖到「奇数」和「偶数」两种情况。

根据 $k$ 与 $4$ 的余数关系分情况讨论:

  • 余数为 $0$,即 $k = 4X$,由于 $dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{4X(4X+1)}{2} = 2X(4X+1)$,其中一数为偶数,$dist$ 为偶数;
  • 余数为 $1$,即 $k = 4X + 1$,由于 $dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{(4X+1)(4X+2)}{2} = (4X+1)(2X+1)$,两个奇数相乘为奇数,$dist$ 为奇数;
  • 余数为 $2$,即 $k = 4X + 2$,$dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{(4X+2)(4X+3)}{2} = (2X+1)(4X+3)$,两个奇数相乘为奇数,$dist$ 为奇数;
  • 余数为 $3$,即 $k = 4X + 3$,$dist = \frac{k(k+1)}{2} = \frac{(4X+3)(4X+4)}{2} = (4X+3)(2X+2)$,其中一数为偶数,$dist$ 为偶数。

因此在越过 target 后,最多引入不超过 $4$ 步可使得 disttarget 奇偶性相同。

提示五:如何不通过「遍历」或「二分」的方式找到一个合适的 k 值,再通过不超过 $4$ 步的调整找到答案

我们期望找到一个合适的 k 值,使得 $dist = \frac{k \times (k + 1)}{2} < target$,随后通过增加 k 值来找到答案。

利用求和公式 $dist = \frac{k \times (k + 1)}{2}$,我们可以设定 $k = \left \lfloor \sqrt{2 \times target}) \right \rfloor$ 为起始值,随后逐步增大 k 值,直到满足「disttarget 奇偶性相同」。

Java 代码:

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class Solution {
public int reachNumber(int target) {
if (target < 0) target = -target;
int k = (int) Math.sqrt(2 * target), dist = k * (k + 1) / 2;
while (dist < target || (dist - target) % 2 == 1) {
k++;
dist = k * (k + 1) / 2;
}
return k;
}
}

C++ 代码:
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class Solution {
public:
int reachNumber(int target) {
if (target < 0) target = -target;
int k = static_cast<int>(std::sqrt(2 * target));
int dist = k * (k + 1) / 2;
while (dist < target || (dist - target) % 2 == 1) {
k++;
dist = k * (k + 1) / 2;
}
return k;
}
};

Python 代码:
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class Solution:
def reachNumber(self, target: int) -> int:
if target < 0:
target = -target
k = int(math.sqrt(2 * target))
dist = k * (k + 1) / 2
while dist < target or (dist - target) % 2 == 1:
k += 1
dist = k * (k + 1) / 2
return k

TypeScript 代码:
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function reachNumber(target: number): number {
if (target < 0) target = -target
let k = Math.floor(Math.sqrt(2 * target)), dist = k * (k + 1) / 2
while (dist < target || (dist - target) % 2 == 1) {
k++
dist = k * (k + 1) / 2
}
return k
}

  • 时间复杂度:$O(1)$
  • 空间复杂度:$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.754 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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