LC 907. 子数组的最小值之和

题目描述

这是 LeetCode 上的 908. 最小差值 I ，难度为中等。

给定一个整数数组 arr，找到 min(b) 的总和，其中 b 的范围为 arr 的每个（连续）子数组。

由于答案可能很大，因此返回答案模 $10^9 + 7$ 。

示例 1：

输入：arr = [3,1,2,4]

输出：17

解释：
子数组为 [3]，[1]，[2]，[4]，[3,1]，[1,2]，[2,4]，[3,1,2]，[1,2,4]，[3,1,2,4]。 
最小值为 3，1，2，4，1，1，2，1，1，1，和为 17。

示例 2：

1
2
3

输入：arr = [11,81,94,43,3]

输出：444

提示：

$1 <= arr.length <= 3 \times 10^4$
$1 <= arr[i] <= 3 \times 10^4$

单调栈 + 数学

原问题为求所有子数组的最小值之和。

统计所有子数组需要枚举左右端点，复杂度为 $O(n^2)$，对于每个子数组，我们还需要通过线性扫描的方式找到其最小值，复杂度为 $O(n)$，因此朴素解法的整体复杂度为 $O(n^3)$，题目给定数据范围为 $3 \times 10^4$，会 TLE。

由于我们是从子数组中取最小值来进行累加，即参与答案构成的每个数必然某个具体的 $arr[i]$。

因此我们可以将原问题转化为「考虑统计每个 $arr[i]$ 对答案的贡献」。

对于某一个 $arr[i]$ 而言，我们考虑其能够作为哪些子数组的最小值。

我们可以想象以 $arr[i]$ 为中心，分别往两端进行拓展，只要新拓展的边界不会改变「$arr[i]$ 为当前子数组的最小值」的性质即可。

换句话说，我们需要找到 $arr[i]$ 作为最小值的最远左右边界，即找到 $arr[i]$ 左右最近一个比其小的位置 l 和 r。

在给定序列中，找到任意 $A[i]$ 最近一个比其大/小的位置，可使用「单调栈」进行求解。

到这里，我们会自然想到，通过单调栈的方式，分别预处理除 l 和 r 数组：

l[i] = loc 含义为下标 i 左边最近一个比 arr[i] 小的位置是 loc（若在 $arr[i]$ 左侧不存在比其小的数，则 loc = -1）
r[i] = loc 含义为下标 i 右边最近一个比 arr[i] 小的位置是 loc（若在 $arr[i]$ 左侧不存在比其小的数，则 loc = n）

当我们预处理两数组后，通过简单「乘法原理」即可统计以 $arr[i]$ 为最小值时，子数组的个数：

包含 $arr[i]$ 的子数组左端点个数为 $a = i - l[i]$ 个
包含 $arr[i]$ 的子数组右端点个数为 $b = r[i] - i$ 个

子数组的个数 $\times$ 子数组最小值 $arr[i]$，即是当前 $arr[i]$ 对答案的贡献：$a \times b \times arr[i]$。

统计所有 $arr[i]$ 对答案的贡献即是最终答案，但我们忽略了「当 arr 存在重复元素，且该元素作为子数组最小值时，最远左右端点的边界越过重复元素时，导致重复统计子数组」的问题。

我们不失一般性的举个 🌰 来理解（下图）：

为了消除这种重复统计，我们可以将「最远左右边界」的一端，从「严格小于」调整为「小于等于」，从而实现半开半闭的效果。

Java 代码：

class Solution {
    int MOD = (int)1e9+7;
    public int sumSubarrayMins(int[] arr) {
        int n = arr.length, ans = 0;
        int[] l = new int[n], r = new int[n];
        Arrays.fill(l, -1); Arrays.fill(r, n);
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            while (!d.isEmpty() && arr[d.peekLast()] >= arr[i]) r[d.pollLast()] = i;
            d.addLast(i);
        }
        d.clear();
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            while (!d.isEmpty() && arr[d.peekLast()] > arr[i]) l[d.pollLast()] = i;
            d.addLast(i);
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = i - l[i], b = r[i] - i;
            ans += a * 1L * b % MOD * arr[i] % MOD;
            ans %= MOD;
        }
        return ans;
    }
}

C++ 代码：

class Solution {
public:
    int MOD = 1e9 + 7;
    int sumSubarrayMins(vector<int>& arr) {
        int n = arr.size(), ans = 0;
        vector<int> l(n, -1), r(n, n);
        stack<int> d;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            while (!d.empty() && arr[d.top()] >= arr[i]) {
                r[d.top()] = i;
                d.pop();
            }
            d.push(i);
        }
        while (!d.empty()) d.pop();
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            while (!d.empty() && arr[d.top()] > arr[i]) {
                l[d.top()] = i;
                d.pop();
            }
            d.push(i);
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            long long a = i - l[i], b = r[i] - i;
            ans = (ans + a * b % MOD * arr[i] % MOD) % MOD;
        }
        return ans;
    }
};

TypeScript 代码：

const MOD = 1000000007
function sumSubarrayMins(arr: number[]): number {
    let n = arr.length, ans = 0
    const l = new Array<number>(n).fill(-1), r = new Array<number>(n).fill(n)
    const stk = new Array<number>(n).fill(0)
    let he = 0, ta = 0
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        while (he < ta && arr[stk[ta - 1]] >= arr[i]) r[stk[--ta]] = i
        stk[ta++] = i
    }
    he = ta = 0
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        while (he < ta && arr[stk[ta - 1]] > arr[i]) l[stk[--ta]] = i
        stk[ta++] = i
    }
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const a = i - l[i], b = r[i] - i
        ans += a * b % MOD * arr[i] % MOD
        ans %= MOD
    }
    return ans
}

Python 代码：

class Solution:
    def sumSubarrayMins(self, arr: List[int]) -> int:
        n, ans = len(arr), 0
        l, r = [-1] * n, [n] * n
        stk = []
        for i in range(n):
            while stk and arr[stk[-1]] >= arr[i]:
                r[stk.pop()] = i
            stk.append(i)
        stk = []
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            while stk and arr[stk[-1]] > arr[i]:
                l[stk.pop()] = i
            stk.append(i)
        for i in range(n):
            a, b = i - l[i], r[i] - i
            ans += a * b * arr[i]
        return ans % (10 ** 9 + 7)

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(n)$

优化

实际上，当我们从栈中弹出某个 $arr[cur]$ 时，其右边界必然是导致其弹出的 arr[r]（当前所遍历到的元素），而 $arr[cur]$ 若存在左边界，必然是位于 $cur$ 栈中的前一位置，即 $arr[cur]$ 弹出后的新栈顶元素（若不存在物理左边界，则左边界为 $-1$）。

Java 代码：

class Solution {
    int MOD = (int)1e9+7;
    public int sumSubarrayMins(int[] arr) {
        int n = arr.length, ans = 0;
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        for (int r = 0; r <= n; r++) {
            int t = r < n ? arr[r] : 0;
            while (!d.isEmpty() && arr[d.peekLast()] >= t) {
                int cur = d.pollLast();
                int l = d.isEmpty() ? -1 : d.peekLast();
                int a = cur - l, b = r - cur;
                ans += a * 1L * b % MOD * arr[cur] % MOD;
                ans %= MOD;
            }
            d.addLast(r);
        }
        return ans;
    }
}

C++ 代码：

class Solution {
public:
    int MOD = 1e9 + 7;
    int sumSubarrayMins(vector<int>& arr) {
        int n = arr.size(), ans = 0;
        deque<int> d;
        for (int r = 0; r <= n; r++) {
            int t = (r < n) ? arr[r] : 0;
            while (!d.empty() && arr[d.back()] >= t) {
                int cur = d.back();
                d.pop_back();
                int l = d.empty() ? -1 : d.back();
                long long a = cur - l, b = r - cur;
                ans = (ans + a * b % MOD * arr[cur] % MOD) % MOD;
            }
            d.push_back(r);
        }
        return ans;
    }
};

TypeScript 代码：

const MOD = 1000000007
function sumSubarrayMins(arr: number[]): number {
    let n = arr.length, ans = 0
    const stk = new Array<number>(n).fill(0)
    let he = 0, ta = 0
    for (let r = 0; r <= n; r++) {
        const t = r < n ? arr[r] : 0
        while (he < ta && arr[stk[ta - 1]] >= t) {
            const cur = stk[--ta]
            const l = he < ta ? stk[ta - 1] : -1
            const a = cur - l, b = r - cur
            ans += a * b % MOD * arr[cur] % MOD
            ans %= MOD
        }
        stk[ta++] = r
    }
    return ans
}

Python 代码：

class Solution:
    def sumSubarrayMins(self, arr: List[int]) -> int:
        n, ans = len(arr), 0
        stk = []
        for r in range(n + 1):
            t = arr[r] if r < n else 0
            while stk and arr[stk[-1]] >= t:
                cur = stk.pop()
                l = stk[-1] if stk else -1
                a, b = cur - l, r - cur
                ans += a * b * arr[cur]
            stk.append(r)
        return ans % (10 ** 9 + 7)

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.907 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

数学单调栈

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