LC 850. 矩形面积 II

题目描述

这是 LeetCode 上的 850. 矩形面积 II ，难度为困难。

我们给出了一个（轴对齐的）二维矩形列表 rectangles。对于 $rectangle[i] = [x1, y_1, x_2, y_2]$，其中$(x_1, y_1)$ 是矩形 i 左下角的坐标，$ (x{i1}, y{i1})$ 是该矩形左下角的坐标，$ (x{i2}, y_{i2})$ 是该矩形右上角的坐标。

计算平面中所有 rectangles 所覆盖的总面积。任何被两个或多个矩形覆盖的区域应只计算一次。

返回总面积。因为答案可能太大，返回 $10^9 + 7$ 的模。

示例 1：

输入：rectangles = [[0,0,2,2],[1,0,2,3],[1,0,3,1]]

输出：6

解释：如图所示，三个矩形覆盖了总面积为6的区域。
从(1,1)到(2,2)，绿色矩形和红色矩形重叠。
从(1,0)到(2,3)，三个矩形都重叠。

示例 2：

输入：rectangles = [[0,0,1000000000,1000000000]]

输出：49

解释：答案是 1018 对 (109 + 7) 取模的结果， 即 49 。

提示：

$1 <= rectangles.length <= 200$
$rectanges[i].length = 4$
$0 <= x{i1}, y{i1}, x{i2}, y{i2} <= 10^9$
矩形叠加覆盖后的总面积不会超越 $2^{63} - 1$ ，这意味着可以用一个 64 位有符号整数来保存面积结果。

扫描线

这是一道「扫描线」模板题。

将所有给定的矩形的左右边对应的 x 端点提取出来并排序，每个端点可看作是一条竖直的线段（红色），问题转换为求解「由多条竖直线段分割开」的多个矩形的面积总和（黄色）：

相邻线段之间的宽度为单个矩形的「宽度」（通过 x 差值直接算得），问题转换为求该区间内高度的并集（即矩形的高度）。

由于数据范围只有 $200$，我们可以对给定的所有矩形进行遍历，统计所有对该矩形有贡献的 y 值线段（即有哪些 rs[i] 落在该矩形中），再对线段进行求交集（总长度），即可计算出该矩形的「高度」，从而计算出来该矩形的面积。

Java 代码：

class Solution {
    int MOD = (int)1e9+7;
    public int rectangleArea(int[][] rs) {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        for (int[] info : rs) {
            list.add(info[0]); list.add(info[2]);
        }
        Collections.sort(list);
        long ans = 0;
        for (int i = 1; i < list.size(); i++) {
            int a = list.get(i - 1), b = list.get(i), len = b - a;
            if (len == 0) continue;
            List<int[]> lines = new ArrayList<>();
            for (int[] info : rs) {
                if (info[0] <= a && b <= info[2]) lines.add(new int[]{info[1], info[3]});
            }
            Collections.sort(lines, (l1, l2)->{
                return l1[0] != l2[0] ? l1[0] - l2[0] : l1[1] - l2[1];
            });
            long tot = 0, l = -1, r = -1;
            for (int[] cur : lines) {
                if (cur[0] > r) {
                    tot += r - l;
                    l = cur[0]; r = cur[1];
                } else if (cur[1] > r) {
                    r = cur[1];
                }
            }
            tot += r - l;
            ans += tot * len;
            ans %= MOD;
        }
        return (int) ans;
    }
}

TypeScript 代码：

const MOD = BigInt(1e9+7)
function rectangleArea(rs: number[][]): number {
    const list = new Array<number>()
    for (let info of rs) {
        list.push(info[0]); list.push(info[2]);
    }
    list.sort((a,b)=>a-b)
    let ans = 0n
    for (let i = 1; i < list.length; i++) {
        const a = list[i - 1], b = list[i], len = b - a
        if (len == 0) continue
        const lines = new Array<number[]>()
        for (let info of rs) {
            if (info[0] <= a && b <= info[2]) lines.push([info[1], info[3]])
        }
        lines.sort((l1,l2)=>{
            return l1[0] != l2[0] ? l1[0] - l2[0] : l1[1] - l2[1]
        })
        let tot = 0n, l = -1, r = -1
        for (let cur of lines) {
            if (cur[0] > r) {
                tot += BigInt(r - l)
                l = cur[0]; r = cur[1]
            } else if (cur[1] > r) {
                r = cur[1]
            }
        }
        tot += BigInt(r - l)
        ans += tot * BigInt(len)
        ans %= MOD
    }
    return Number(ans)
};

Python 代码：

class Solution:
    def rectangleArea(self, rs: List[List[int]]) -> int:
        ps = []
        for info in rs:
            ps.append(info[0])
            ps.append(info[2])
        ps.sort()
        ans = 0
        for i in range(1, len(ps)):
            a, b = ps[i - 1], ps[i]
            width = b - a
            if width == 0:
                continue
            lines = [(info[1], info[3]) for info in rs if info[0] <= a and b <= info[2]]
            lines.sort()
            height, l, r = 0, -1, -1
            for cur in lines:
                if cur[0] > r:
                    height += r - l
                    l, r = cur
                elif cur[1] > r:
                    r = cur[1]
            height += r - l
            ans += height * width
        return ans % 1000000007

Go 代码：

const MOD = int64(1e9 + 7)
func rectangleArea(rectangles [][]int) int {
    list := []int{}
    for _, info := range rectangles {
        list = append(list, info[0])
        list = append(list, info[2])
    }
    sort.Ints(list)
    ans := int64(0)
    for i := 1; i < len(list); i++ {
        a, b, length := list[i - 1], list[i], list[i] - list[i - 1]
        if length == 0 {
            continue
        }
        lines := [][]int{}
        for _, info := range rectangles {
            if info[0] <= a && b <= info[2] {
                lines = append(lines, []int{info[1], info[3]})
            }
        }
        sort.Slice(lines, func(i,j int) bool {
            if lines[i][0] != lines[j][0] {
                return lines[i][0] - lines[j][0] < 0
            }
            return lines[i][1] - lines[j][1] < 0
        })
        total, l, r := int64(0), -1, -1
        for _, cur := range lines {
            if cur[0] > r {
                total += int64(r - l)
                l, r = cur[0], cur[1]
            } else if cur[1] > r {
                r = cur[1]
            }
        }
        total += int64(r - l)
        ans += total * int64(length)
        ans %= MOD
    }
    return int(ans)
}

时间复杂度：预处理所有扫描线的复杂度为 $O(n\log{n})$；处理所有相邻的扫描线，并计算相邻扫描线形成的矩形面积复杂度为 $O(n\log{n})$ 。整体复杂度为 $O(n^2\log{n})$
空间复杂度：$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.850 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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