LC 768. 最多能完成排序的块 II

题目描述

这是 LeetCode 上的 768. 最多能完成排序的块 II ,难度为 困难

这个问题和“最多能完成排序的块”相似,但给定数组中的元素可以重复,输入数组最大长度为$2000$,其中的元素最大为 $10^8$。

arr 是一个可能包含重复元素的整数数组,我们将这个数组分割成几个“块”,并将这些块分别进行排序。之后再连接起来,使得连接的结果和按升序排序后的原数组相同。

我们最多能将数组分成多少块?

示例 1:

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输入: arr = [5,4,3,2,1]

输出: 1

解释:
将数组分成2块或者更多块,都无法得到所需的结果。
例如,分成 [5, 4], [3, 2, 1] 的结果是 [4, 5, 1, 2, 3],这不是有序的数组。

示例 2:
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输入: arr = [2,1,3,4,4]

输出: 4

解释:
我们可以把它分成两块,例如 [2, 1], [3, 4, 4]
然而,分成 [2, 1], [3], [4], [4] 可以得到最多的块数。

注意:

  • arr 的长度在 $[1, 2000]$ 之间。
  • arr[i] 的大小在 $[0, 10^8]$ 之间。

贪心 + 构造

一种容易想到的构造方法,是与目标序列(已排升序的数组 clone)做区间比较。

由于题目要求尽可能划分出多的区间,我们可以从前往后处理 arrclone 时统计区间内数的情况,若有 arr[i...j]clone[i...j] 词频完全相同,可知 arr[i...j] 可通过内部排序调整为 clone[i...j],此时我们将范围 $[i…j]$ 划分为一个区间,然后继续往后处理直到整个数组处理完。

容易证明该做法的正确性:可从边界开始进行归纳分析,起始两者均从下标为 $0$ 的位置进行扫描。假设最优解和贪心解的第一个区间的结束位置相同,问题就会归结到子问题上(即双方均从相同的子数组起始位置开始构造),因此无须额外证明;而当起始位置相同,结束位置不同时,假设分别为 $clone[i…j_1]$ 和 $arr[i…j_2]$,则必然有 $j_1 > j_2$(因为如果有 $j_1 < j_2$,那么在 $arr$ 扫描到 $j_1$ 位置时已经满足划分区间的条件,已经会停下来,即与贪心决策逻辑冲突),而当 $j_1 > j_2$ 时,我们可以将最优解中的区间 $clone[i…j_1]$ 进一步划分为 $clone[i…j_2]$ 和 $clone[j_2+1 … j_1]$ 两段,同时不影响后续的构造过程,使得最终划分的区间数增大,即与最优解本身无法划分冲突。

根据数值之间满足严格全序,可知当 $j_1 > j_2$ 和 $j_1 < j_2$ 均不满足时,必然有 $j_1 = j_2$ 为真。

综上,我们证明了对于相同起点,贪心解与最优解结束位置必然相同,从而证明贪心解区间数与最优解相等。

于是原问题转换为如何快速对两数组(原数组 arr 和目标数组 clone)进行词频比较,由于数值的范围为 $10^8$,如果使用最裸的词频对比方案的话,需要先进行离散化,最终算法的复杂度为 $O(n\log{n} + n^2)$。而更好的解决方案是使用哈希表进行计数,同时维护当前计数不为 $0$ 的数值数量 tot,具体的,当我们处理 $arr[i]$ 时,我们在哈希表中对 $arr[i]$ 进行计数加一,而在处理 $clone[i]$ 时,对 $clone[i]$ 进行计数减一。从而将词频比较的复杂度从 $O(n^2)$ 下降到 $O(n)$。

Java 代码:

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class Solution {
public int maxChunksToSorted(int[] arr) {
int[] clone = arr.clone();
Arrays.sort(clone);
int n = arr.length, ans = 0;
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
for (int i = 0, tot = 0; i < n; i++) {
int a = arr[i], b = clone[i];
if (map.getOrDefault(a, 0) == -1) tot--;
else if (map.getOrDefault(a, 0) == 0) tot++;
map.put(a, map.getOrDefault(a, 0) + 1);
if (map.getOrDefault(b, 0) == 1) tot--;
else if (map.getOrDefault(b, 0) == 0) tot++;
map.put(b, map.getOrDefault(b, 0) - 1);
if (tot == 0) ans++;
}
return ans;
}
}

TypeScript 代码:
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function maxChunksToSorted(arr: number[]): number {
let clone = [...arr].sort((a,b)=>a-b)
let n = arr.length, ans = 0
const map = new Map<number, number>()
for (let i = 0, tot = 0; i < n; i++) {
const a = arr[i], b = clone[i]
if (!map.has(a)) map.set(a, 0)
if (map.get(a) == 0) tot++
else if (map.get(a) == -1) tot--;
map.set(a, map.get(a) + 1)
if (!map.has(b)) map.set(b, 0)
if (map.get(b) == 0) tot++
else if (map.get(b) == 1) tot--
map.set(b, map.get(b) - 1)
if (tot == 0) ans++
}
return ans
};

  • 时间复杂度:$O(n\log{n})$
  • 空间复杂度:$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.768 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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