LC 1175. 质数排列

题目描述

这是 LeetCode 上的 1175. 质数排列 ，难度为 简单。

请你帮忙给从 $1$ 到 $n$ 的数设计排列方案，使得所有的「质数」都应该被放在「质数索引」（索引从 $1$ 开始）上；你需要返回可能的方案总数。

让我们一起来回顾一下「质数」：质数一定是大于 $1$ 的，并且不能用两个小于它的正整数的乘积来表示。

由于答案可能会很大，所以请你返回答案 模 mod $10^9 + 7$ 之后的结果即可。

示例 1：

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3
4
输入：n = 5

输出：12
解释：举个例子，[1,2,5,4,3] 是一个有效的排列，但 [5,2,3,4,1] 不是，因为在第二种情况里质数 5 被错误地放在索引为 1 的位置上。

示例 2：
1
2
3
输入：n = 100

输出：682289015

提示：

  • $1 <= n <= 100$

打表 + 二分 + 数学

根据题意，可将问题转换为求 $n$ 以内的质数个数，记为 $a$，同时可得非质数个数为 $b = n - a$。

质数的放置方案数为 $a!$，而非质数的放置方案数为 $b!$，根据「乘法原理」总的放置方案数为 $a! \times b!$。

我们可以通过「打表」的方式将 $100$ 以内的质数预处理到数组 list 中，对于每个 $n$ 而言，我们找到第一个满足「值小于等于 $n$」的位置，从而得知 $n$ 范围以内的质数个数。

代码：

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class Solution {
    static int MOD = (int)1e9+7;
    static List<Integer> list = new ArrayList<>();
    static {
        for (int i = 2; i <= 100; i++) {
            boolean ok = true;
            for (int j = 2; j * j <= i; j++) {
                if (i % j == 0) ok = false;
            }
            if (ok) list.add(i);
        }
    }
    public int numPrimeArrangements(int n) {
        int l = 0, r = list.size() - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (list.get(mid) <= n) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        int a = r + 1, b = n - a;
        long ans = 1;
        for (int i = b; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
        for (int i = a; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
        return (int)ans;
    }
}

  • 时间复杂度：二分的复杂度为 $O(\log{C})$，其中 $C = 25$ 为 $100$ 以内的质数个数；计算方案数的复杂度为 $O(n)$。整体复杂度为 $O(n)$
  • 空间复杂度：$O(C)$，其中 $C = 25$ 为 $100$ 以内的质数个数

打表 + 数学

更进一步，对于特定的 $n$ 而言，我们在预处理 $100$ 以内的质数时，已经可以确定在 $[1, n]$ 内有多少个质数，从而省掉二分操作。

使用数组 cnts 记录下不超过当前值范围内质数的个数，$cnts[i] = x$ 含义为在 $[1, i]$ 范围内质数数量为 $x$。

代码：

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class Solution {
    static int MOD = (int)1e9+7;
    static int[] cnts = new int[110];
    static {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        for (int i = 2; i <= 100; i++) {
            boolean ok = true;
            for (int j = 2; j * j <= i; j++) {
                if (i % j == 0) ok = false;
            }
            if (ok) list.add(i);
            cnts[i] = list.size();
        }
    }
    public int numPrimeArrangements(int n) {
        int a = cnts[n], b = n - a;
        long ans = 1;
        for (int i = b; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
        for (int i = a; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
        return (int)ans;
    }
}

  • 时间复杂度：$O(n)$
  • 空间复杂度：$O(C)$，其中 $C = 100$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1175 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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