LC 473. 火柴拼正方形

题目描述

这是 LeetCode 上的 473. 火柴拼正方形 ，难度为 中等。

你将得到一个整数数组 matchsticks，其中 $matchsticks[i]$ 是第 i 个火柴棒的长度。你要用 所有的火柴棍 拼成一个正方形。

你 不能折断 任何一根火柴棒，但你可以把它们连在一起，而且每根火柴棒必须 使用一次 。

如果你能使这个正方形，则返回 true，否则返回 false。

示例 1:

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输入: matchsticks = [1,1,2,2,2]

输出: true

解释: 能拼成一个边长为2的正方形，每边两根火柴。

示例 2:
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输入: matchsticks = [3,3,3,3,4]

输出: false

解释: 不能用所有火柴拼成一个正方形。

提示:

  • $1 <= matchsticks.length <= 15$
  • $1 <= matchsticks[i] <= 10^8$

祝大家儿童节快乐，永葆童心，一直善良 😊 ~

DFS 剪枝

为了方便，我们称 matchsticks 为 ms。

数据范围为 $n = 15$，朴素的 DFS 爆搜（搜索过程中维护一个大小为 $4$ 的数组 cur，数组中的每一位代表正方形一条边长所使用到的火柴总长度，若最终数组中每一位均等于 $t = \frac{\sum_{i = 0}^{n - 1}ms[i]}{4}$，代表存在合法方案）复杂度为 $4^n$，会 TLE。

我们考虑如何进行「剪枝」。

首先一个较为明显的剪枝操作是进行「可行性剪枝」：我们在决策 $ms[idx]$ 时，如果将其累加到某个 $cur[i]$ 之后，会导致 $cur[i] > t$，则说明必然不会是合法方案，该分支不再往后搜索。

另外一个较为 trick 的剪枝是通过「调整搜索顺序/检查当前桶的总长度」来进行「重复性剪枝」：我们可以先对 ms 排倒序，进行「从大到小」的爆搜。本质上，我们是将一些小火柴重复放到某几个桶的搜索路径（其实对应的是相同的分配方案），放到了最后处理；同时，当我们要放置 $ms[idx]$ 的火柴时，如果存在多个桶总长度相等，例如 $cur[i] = cur[j]$，将 $ms[idx]$ 放置在 $cur[i]$ 或 $cur[j]$ 也是等价的。

代码：

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class Solution {
    int[] ms;
    int t;
    public boolean makesquare(int[] _ms) {
        ms = _ms;
        int sum = 0;
        for (int i : ms) sum += i;
        t = sum / 4;
        if (t * 4 != sum) return false;
        Arrays.sort(ms);
        return dfs(ms.length - 1, new int[4]);
    }
    boolean dfs(int idx, int[] cur) {
        if (idx == -1) return true;
        out:for (int i = 0; i < 4; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (cur[j] == cur[i]) continue out;
            }
            int u = ms[idx];
            if (cur[i] + u > t) continue;
            cur[i] += u;
            if (dfs(idx - 1, cur)) return true;
            cur[i] -= u;
        }
        return false;
    }
}

  • 时间复杂度：$O(4^n)$
  • 空间复杂度：排序的复杂度为 $O(\log{n})$，忽略递归带来的额外空间开销，复杂度为 $O(\log{n})$

模拟退火

事实上，这道题还能使用「模拟退火」进行求解。

因为将 $n$ 个数划分为 $4$ 份，等效于用 $n$ 个数构造出一个「特定排列」，然后对「特定排列」进行固定模式的构造逻辑，就能实现「答案」与「最优排列」的对应关系。

基于此，我们可以使用「模拟退火」进行求解。

单次迭代的基本流程：

  1. 随机选择两个下标，计算「交换下标元素前对应序列的得分」&「交换下标元素后对应序列的得分」
  2. 如果温度下降（交换后的序列更优），进入下一次迭代
  3. 如果温度上升（交换前的序列更优），以「一定的概率」恢复现场（再交换回来）

值得一提的是，这道题造数据的人十分有水平，在最后一个样例中放了个卡 SA 的数据：

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[403,636,824,973,815,318,881,506,863,21,834,211,316,772,803]

但我不知道为什么 LC 的提交结果会这么奇怪，已通过 184/183 样例？是总样例数哪个地方更新漏了，还是缓存没刷新：

image.png

这个数据点优秀在于起始排序可以导致我们固定的 calc 逻辑最终落入局部最优。针对这种情况，也很好解决，只需要在执行 SA 之前，先对原数组进行一次随机化打乱即可。

代码（2022/06/01 可通过）：

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class Solution {
    int[] ms;
    int n, k;
    Random random = new Random(20220601);
    double hi = 1e9, lo = 1e-4, fa = 0.95;
    int N = 400;
    boolean ans = false;
    int calc() {
        int diff = 0;
        for (int i = 0, j = 0; i < 4; i++) {
            int cnt = 0;
            while (j < n && cnt < k) cnt += ms[j++];
            diff += Math.abs(k - cnt);
        }
        if (diff == 0) ans = true;
        return diff;
    }
    void sa() {
        shuffle(ms);
        for (double t = hi; t > lo && !ans; t *= fa) {
            int a = random.nextInt(n), b = random.nextInt(n);
            if (a == b) continue;
            int prev = calc();
            swap(ms, a, b);
            int cur = calc();
            int diff = cur - prev;
            if (Math.log(diff / t) > random.nextDouble()) swap(ms, a, b);
        }
    }
    public boolean makesquare(int[] _ms) {
        ms = _ms;
        n = ms.length;
        int sum = 0;
        for (int i : ms) sum += i;
        k = sum / 4;
        if (k * 4 != sum) return false;
        while (!ans && N-- > 0) sa();
        return ans;
    }
    void shuffle(int[] nums) {
        for (int i = n; i > 0; i--) {
            int idx = random.nextInt(i);
            swap(nums, idx, i - 1);
        }
    }
    void swap(int[] nums, int a, int b) {
        int c = nums[a];
        nums[a] = nums[b];
        nums[b] = c;
    }
}

我猜你问

Q0. 模拟退火有何风险？
随机算法，会面临 WA 和 TLE 风险。

Q1. 模拟退火中的参数如何敲定的？
根据经验猜的，然后提交。根据结果是 WA 还是 TLE 来决定之后的调参方向。如果是 WA 说明部分数据落到了「局部最优」或者尚未达到「全局最优」。

Q2. 参数如何调整？
如果是 WA 了，一般我是优先调大 fa 参数，使降温变慢，来变相增加迭代次数；如果是 TLE 了，一般是优先调小 fa 参数，使降温变快，减小迭代次数。总迭代参数 N 也是同理。

可以简单理解调大 fa 代表将「大步」改为「baby step」，防止越过全局最优，同时增加总执行步数。

Q3. 关于「模拟退火」正确性？

随机种子不变，测试数据不变，迭代参数不变，那么退火的过程就是恒定的，必然都能找到这些测试样例的「全局最优」。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.472 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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