LC 209. 长度最小的子数组

题目描述

这是 LeetCode 上的 209. 长度最小的子数组 ，难度为 中等。

给定一个含有 n 个正整数的数组和一个正整数 target。

找出该数组中满足其和 ≥ target 的长度最小的 连续子数组 $[numsl, nums{l+1}, …, nums_{r-1}, nums_r]$ ，并返回其长度。如果不存在符合条件的子数组，返回 $0$ 。

示例 1：

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输入：target = 7, nums = [2,3,1,2,4,3]

输出：2

解释：子数组 [4,3] 是该条件下的长度最小的子数组。

示例 2：
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输入：target = 4, nums = [1,4,4]

输出：1

示例 3：
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3
输入：target = 11, nums = [1,1,1,1,1,1,1,1]

输出：0

提示：

  • $1 <= target <= 10^9$
  • $1 <= nums.length <= 10^5$
  • $1 <= nums[i] <= 10^5$

前缀和 + 二分

利用 $nums[i]$ 的数据范围为 $[1, 10^5]$，可知前缀和数组满足「单调递增」。

我们先预处理出前缀和数组 sum（前缀和数组下标默认从 $1$ 开始），对于每个 $nums[i]$ 而言，假设其对应的前缀和值为 $s = sum[i + 1]$，我们将 $nums[i]$ 视为子数组的右端点，问题转换为：在前缀和数组下标 $[0, i]$ 范围内找到满足「值小于等于 $s - t$」的最大下标，充当子数组左端点的前一个值。

利用前缀和数组的「单调递增」（即具有二段性），该操作可使用「二分」来做。

Java 代码：

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class Solution {
    public int minSubArrayLen(int t, int[] nums) {
        int n = nums.length, ans = n + 10;
        int[] sum = new int[n + 10];
        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int d = sum[i] - t;
            int l = 0, r = i;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (sum[mid] <= d) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            if (sum[r] <= d) ans = Math.min(ans, i - r);
        }
        return ans == n + 10 ? 0 : ans;
    }
}

C++ 代码：
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class Solution {
public:
    int minSubArrayLen(int t, vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), ans = n + 10;
        vector<int> sum(n + 10, 0);
        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];      
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int d = sum[i] - t;
            int l = 0, r = i;
            while (l < r) {
                int mid = (l + r + 1) >> 1;
                if (sum[mid] <= d) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            if (sum[r] <= d) ans = min(ans, i - r);
        }
        return ans == n + 10 ? 0 : ans;
    }
};

Python 代码：
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class Solution:
    def minSubArrayLen(self, t: int, nums: List[int]) -> int:
        n, ans = len(nums), len(nums) + 10
        s = [0] * (n + 10)
        for i in range(1, n + 1):
            s[i] = s[i - 1] + nums[i - 1]
        for i in range(1, n + 1):
            d = s[i] - t
            l, r = 0, i
            while l < r:
                mid = (l + r + 1) // 2
                if s[mid] <= d:
                    l = mid
                else:
                    r = mid - 1
            if s[r] <= d: 
                ans = min(ans, i - r)
        return 0 if ans == n + 10 else ans

TypeScript 代码：
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function minSubArrayLen(t: number, nums: number[]): number {
    let n = nums.length, ans = n + 10;
    const sum = new Array(n + 10).fill(0);
    for (let i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        const d = sum[i] - t;
        let l = 0, r = i;
        while (l < r) {
            const mid = l + r + 1 >> 1;
            if (sum[mid] <= d) l = mid;    
            else r = mid - 1;
        }
        if (sum[r] <= d) ans = Math.min(ans, i - r);
    }
    return ans == n + 10 ? 0 : ans;
};

  • 时间复杂度：预处理前缀和数组的复杂度为 $O(n)$，遍历前缀和数组统计答案复杂度为 $O(n\log{n})$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$
  • 空间复杂度：$O(n)$

滑动窗口

另外一个，复杂度比 $O(n\log{n})$ 更低的做法，是滑动窗口。

在一次遍历过程中，使用 j 和 i 分别代表窗口的左右端点，变量 c 用于记录窗口内的数值总和。

遍历过程其实就是右端点 i 不断右移的过程，每次将当前右端点 i 的值累加到 c 上，若累加后，左端点右移仍能满足「总和大于等于 t」的要求，那么我们则让左端点 j 右移。

如此一来，我们便得到了每个右端点 i 固定时，下标最大的合法左端点 j（若有）。所有合法窗口长度的最小值即是答案。

代码：

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class Solution {
    public int minSubArrayLen(int t, int[] nums) {
        int n = nums.length, ans = n + 10;
        for (int i = 0, j = 0, c = 0; i < n; i++) {
            c += nums[i];
            while (j < i && c - nums[j] >= t) c -= nums[j++];
            if (c >= t) ans = Math.min(ans, i - j + 1);
        }
        return ans > n ? 0 : ans;
    }
}

  • 时间复杂度：$O(n)$
  • 空间复杂度：$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.209 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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