LC 1601. 最多可达成的换楼请求数目

题目描述

这是 LeetCode 上的 1601. 最多可达成的换楼请求数目 ，难度为 困难。

我们有 n 栋楼，编号从 0 到 n - 1 。每栋楼有若干员工。由于现在是换楼的季节，部分员工想要换一栋楼居住。

给你一个数组 $requests$ ，其中 $requests[i] = [from_i, to_i]$ ，表示一个员工请求从编号为 $from_i$ 的楼搬到编号为 $to_i$ 的楼。

一开始 所有楼都是满的，所以从请求列表中选出的若干个请求是可行的需要满足 每栋楼员工净变化为 $0$ 。意思是每栋楼 离开 的员工数目 等于 该楼 搬入 的员工数数目。比方说 $n = 3$ 且两个员工要离开楼 $0$ ，一个员工要离开楼 $1$ ，一个员工要离开楼 $2$ ，如果该请求列表可行，应该要有两个员工搬入楼 $0$ ，一个员工搬入楼 $1$ ，一个员工搬入楼 $2$ 。

请你从原请求列表中选出若干个请求，使得它们是一个可行的请求列表，并返回所有可行列表中最大请求数目。

示例 1：

输入：n = 5, requests = [[0,1],[1,0],[0,1],[1,2],[2,0],[3,4]]

输出：5
解释：请求列表如下：
从楼 0 离开的员工为 x 和 y ，且他们都想要搬到楼 1 。
从楼 1 离开的员工为 a 和 b ，且他们分别想要搬到楼 2 和 0 。
从楼 2 离开的员工为 z ，且他想要搬到楼 0 。
从楼 3 离开的员工为 c ，且他想要搬到楼 4 。
没有员工从楼 4 离开。
我们可以让 x 和 b 交换他们的楼，以满足他们的请求。
我们可以让 y，a 和 z 三人在三栋楼间交换位置，满足他们的要求。
所以最多可以满足 5 个请求。

示例 2：

输入：n = 3, requests = [[0,0],[1,2],[2,1]]

输出：3

解释：请求列表如下：
从楼 0 离开的员工为 x ，且他想要回到原来的楼 0 。
从楼 1 离开的员工为 y ，且他想要搬到楼 2 。
从楼 2 离开的员工为 z ，且他想要搬到楼 1 。
我们可以满足所有的请求。

示例 3：

输入：n = 4, requests = [[0,3],[3,1],[1,2],[2,0]]

输出：4

提示：

• $1 <= n <= 20$
• $1 <= requests.length <= 16$
• $requests[i].length == 2$
• $0 <= fromi, toi < n$

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二进制枚举

为了方便，我们令 $requests$ 的长度为 $m$。

数据范围很小，$n$ 的范围为 $20$，而 $m$ 的范围为 $16$。

根据每个 $requests[i]$ 是否选择与否，共有 $2^m$ 种状态（不超过 $70000$ 种状态）。我们可以采用「二进制枚举」的思路来求解，使用二进制数 $state$ 来表示对 $requests[i]$ 的选择情况，当 $state$ 的第 $k$ 位为 $1$，代表 $requests[k]$ 被选择。

我们枚举所有的 $state$ 并进行合法性检查，从中选择出包含请求数的最多（二进制表示中包含 $1$ 个数最多）的合法 $state$，其包含的请求数量即是答案。

其中统计 $state$ 中 $1$ 的个数可以使用 lowbit，复杂度为 $O(m)$，判断合法性则直接模拟即可（统计每座建筑的进出数量，最后判定进出数不相等的建筑数量是为 $0$），复杂度为 $O(m)$，整体计算量为不超过 $2 \times 10^6$，可以过。

代码：

class Solution {
    int[][] rs;
    public int maximumRequests(int n, int[][] requests) {
        rs = requests;
        int m = rs.length, ans = 0;
        for (int i = 0; i < (1 << m); i++) {
            int cnt = getCnt(i);
            if (cnt <= ans) continue;
            if (check(i)) ans = cnt;
        }
        return ans;
    }
    boolean check(int s) {
        int[] cnt = new int[20];
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < 16; i++) {
            if (((s >> i) & 1) == 1) {
                int a = rs[i][0], b = rs[i][1];
                if (++cnt[a] == 1) sum++;
                if (--cnt[b] == 0) sum--;
            }
        }
        return sum == 0;
    }
    int getCnt(int s) {
        int ans = 0;
        for (int i = s; i > 0; i -= (i & -i)) ans++;
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：令 $m$ 为 $requests$ 长度，共有 $2^m$ 种选择状态，计算每个状态的所包含的问题数量复杂度为 $O(m)$，计算某个状态是否合法复杂度为 $O(m)$；整体复杂度为 $O(2^m \times m)$
• 空间复杂度：$O(n)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1601 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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