LC 688. 骑士在棋盘上的概率

题目描述

这是 LeetCode 上的 688. 骑士在棋盘上的概率 ，难度为 中等。

在一个 $n \times n$ 的国际象棋棋盘上，一个骑士从单元格 $(row, column)$ 开始，并尝试进行 $k$ 次移动。行和列是 从 $0$ 开始 的，所以左上单元格是 $(0,0)$ ，右下单元格是 $(n - 1, n - 1)$ 。

象棋骑士有 $8$ 种可能的走法，如下图所示。每次移动在基本方向上是两个单元格，然后在正交方向上是一个单元格。

每次骑士要移动时，它都会随机从 $8$ 种可能的移动中选择一种(即使棋子会离开棋盘)，然后移动到那里。

骑士继续移动，直到它走了 $k$ 步或离开了棋盘。

返回 骑士在棋盘停止移动后仍留在棋盘上的概率 。

示例 1：

输入: n = 3, k = 2, row = 0, column = 0

输出: 0.0625

解释: 有两步(到(1,2)，(2,1))可以让骑士留在棋盘上。
在每一个位置上，也有两种移动可以让骑士留在棋盘上。
骑士留在棋盘上的总概率是0.0625。

示例 2：

输入: n = 1, k = 0, row = 0, column = 0

输出: 1.00000

提示:

• $1 <= n <= 25$
• $0 <= k <= 100$
• $0 <= row, column <= n$

---

线性 DP

定义 $f[i][j][p]$ 为从位置 $(i, j)$ 出发，使用步数不超过 $p$ 步，最后仍在棋盘内的概率。

不失一般性考虑 $f[i][j][p]$ 该如何转移，根据题意，移动规则为「八连通」，对下一步的落点 $(nx, ny)$ 进行分情况讨论即可：

• 由于计算的是仍在棋盘内的概率，因此对于 $(nx, ny)$ 在棋盘外的情况，无须考虑；
• 若下一步的落点 $(nx, ny)$ 在棋盘内，其剩余可用步数为 $p - 1$，则最后仍在棋盘的概率为 $f[nx][ny][p - 1]$，则落点 $(nx, ny)$ 对 $f[i][j][p]$ 的贡献为 $f[nx][ny][p - 1] \times \frac{1}{8}$，其中 $\frac{1}{8}$ 为事件「从 $(i, j)$ 走到 $(nx, ny)$」的概率（八连通移动等概率发生），该事件与「到达 $(nx, ny)$ 后进行后续移动并留在棋盘」为相互独立事件。

最终的 $f[i][j][p]$ 为「八连通」落点的概率之和，即有：

$$f[i][j][p] = \sum {f[nx][ny][p - 1] \times \frac{1}{8}}$$

代码：

class Solution {
    int[][] dirs = new int[][]{{-1,-2},{-1,2},{1,-2},{1,2},{-2,1},{-2,-1},{2,1},{2,-1}};
    public double knightProbability(int n, int k, int row, int column) {
        double[][][] f = new double[n][n][k + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                f[i][j][0] = 1;
            }
        }
        for (int p = 1; p <= k; p++) {
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                for (int j = 0; j < n; j++) {
                    for (int[] d : dirs) {
                        int nx = i + d[0], ny = j + d[1];
                        if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= n) continue;
                        f[i][j][p] += f[nx][ny][p - 1] / 8;
                    }
                }
            }
        }
        return f[row][column][k];
    }
}

• 时间复杂度：令某个位置可联通的格子数量 $C = 8$，复杂度为 $O(n^2 \times k \times C)$
• 空间复杂度：$O(n^2 \times k)$

---

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.688 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。