LC 1447. 最简分数

题目描述

这是 LeetCode 上的 1447. 最简分数 ，难度为 中等。

给你一个整数 n ，请你返回所有 $0$ 到 $1$ 之间（不包括 $0$ 和 $1$）满足分母小于等于 n 的 最简 分数 。分数可以以 任意 顺序返回。

示例 1：

1
2
3
4
5
输入：n = 2

输出：["1/2"]

解释："1/2" 是唯一一个分母小于等于 2 的最简分数。

示例 2：
1
2
3
输入：n = 3

输出：["1/2","1/3","2/3"]

示例 3：
1
2
3
4
5
输入：n = 4

输出：["1/2","1/3","1/4","2/3","3/4"]

解释："2/4" 不是最简分数，因为它可以化简为 "1/2" 。

示例 4：
1
2
3
输入：n = 1

输出：[]

提示：

  • $1 <= n <= 100$

数论

数据范围为 $100$ 且数值大小在 $(0, 1)$ 之间，因此枚举「分子 + 分母」的 $O(n^2)$ 做法是可接受的。

于是问题转化为：如何快速判断两个数组成的分数是否为最简（即判断两个数的最大公约数是否为 $1$）。

快速求得 $a$ 和 $b$ 的最大公约数的主要方式有两种 :「更相减损法」和「欧几里得算法」，其中「欧几里得算法」的递归实现最为好写，复杂度为 $O(\log{(a + b)})$，在绝大多数的情况下适用，只有在需要实现高精度时，才会考虑使用「更相减损法」。

而 stein 算法则是没有必要掌握的。

代码：

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class Solution {
    int gcd(int a, int b) { // 欧几里得算法
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }
    public List<String> simplifiedFractions(int n) {
        List<String> ans = new ArrayList<>();
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                if (gcd(i, j) == 1) ans.add(i + "/" + j);
            }
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
    int gcd(int a, int b) { // 更相减损法
        while (true) {
            if (a > b) a -= b;
            else if (a < b) b -= a;
            else return a;
        }
    }
    public List<String> simplifiedFractions(int n) {
        List<String> ans = new ArrayList<>();
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                if (gcd(i, j) == 1) ans.add(i + "/" + j);
            }
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
    int gcd(int a, int b) { // stein
        if (a == 0 || b == 0) return Math.max(a, b);
        if (a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1);
        else if (a % 2 == 0) return gcd(a >> 1, b);
        else if (b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1);
        else return gcd(Math.abs(a - b), Math.min(a, b));
    }
    public List<String> simplifiedFractions(int n) {
        List<String> ans = new ArrayList<>();
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                if (gcd(i, j) == 1) ans.add(i + "/" + j);
            }
        }
        return ans;
    }
}

  • 时间复杂度：枚举分子分母的复杂度为 $O(n^2)$；判断两数是否能凑成最简分数复杂度为 $O(\log{n})$。整体复杂度为 $O(n^2 * \log{n})$
  • 空间复杂度：忽略递归带来的额外空间开销，复杂度为 $O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1447 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。