LC 382. 链表随机节点

题目描述

这是 LeetCode 上的 382. 链表随机节点 ，难度为 中等。

Tag :「链表」、「模拟」、「蓄水池抽样」

给你一个单链表，随机选择链表的一个节点，并返回相应的节点值。每个节点 被选中的概率一样 。

实现 Solution 类：

• Solution(ListNode head) 使用整数数组初始化对象。
• int getRandom() 从链表中随机选择一个节点并返回该节点的值。链表中所有节点被选中的概率相等。

示例：

输入
["Solution", "getRandom", "getRandom", "getRandom", "getRandom", "getRandom"]
[[[1, 2, 3]], [], [], [], [], []]

输出
[null, 1, 3, 2, 2, 3]

解释
Solution solution = new Solution([1, 2, 3]);
solution.getRandom(); // 返回 1
solution.getRandom(); // 返回 3
solution.getRandom(); // 返回 2
solution.getRandom(); // 返回 2
solution.getRandom(); // 返回 3
// getRandom() 方法应随机返回 1、2、3中的一个，每个元素被返回的概率相等。

提示：

• $链表中的节点数在范围 [1, 10^4] 内$
• $-10^4 <= Node.val <= 10^4$
• 至多调用 getRandom 方法 $10^4$ 次

进阶：

• 如果链表非常大且长度未知，该怎么处理？
• 你能否在不使用额外空间的情况下解决此问题？

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模拟

由于链表长度只有 $10^4$，因此可以在初始化时遍历整条链表，将所有的链表值预处理到一个数组内。

在查询时随机一个下标，并将数组中对应下标内容返回出去。

代码（感谢 @Benhao 同学提供的其他语言版本）：

class Solution {
    List<Integer> list = new ArrayList<>();
    Random random = new Random(20220116);
    public Solution(ListNode head) {
        while (head != null) {
            list.add(head.val);
            head = head.next;
        }
    }
    public int getRandom() {
        int idx = random.nextInt(list.size());
        return list.get(idx);
    }
}

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class Solution:

    def __init__(self, head: Optional[ListNode]):
        self.nodes = []
        while head:
            self.nodes.append(head)
            head = head.next

    def getRandom(self) -> int:
        return self.nodes[randint(0, len(self.nodes) - 1)].val

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type Solution struct {
    Nodes []int
}
func Constructor(head *ListNode) Solution {
    nodes := make([]int, 0)
    for head != nil {
        nodes = append(nodes, head.Val)
        head = head.Next
    }
    return Solution{nodes}
}
func (this *Solution) GetRandom() int {
    return this.Nodes[rand.Intn(len(this.Nodes))]
}

• 时间复杂度：令 $n$ 为链表长度，预处理数组的复杂度为 $O(n)$；随机获取某个值的复杂度为 $O(1)$
• 空间复杂度：$O(n)$

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蓄水池抽样

整理题意：总的样本数量未知，从所有样本中抽取若干个，要求每个样本被抽到的概率相等。

具体做法为：从前往后处理每个样本，每个样本成为答案的概率为 $\frac{1}{i}$，其中 $i$ 为样本编号（编号从 $1$ 开始），最终可以确保每个样本成为答案的概率均为 $\frac{1}{n}$（其中 $n$ 为样本总数）。

容易证明该做法的正确性，假设最终成为答案的样本编号为 $k$，那么 $k$ 成为答案的充要条件为「在遍历到 $k$ 时被选中」并且「遍历大于 $k$ 的所有元素时，均没有被选择（没有覆盖 $k$）」。

对应事件概率为：

$$P = \frac{1}{k} * (1 - \frac{1}{k + 1}) * (1 - \frac{1}{k + 2}) * ... * (1 - \frac{1}{n})$$

首项 $\frac{1}{k}$ 为选中 $k$ 的概率，后面每项分别为编号为 $[k + 1, n]$ 的样本 不被选中 的概率。

化简得：

$$P = \frac{1}{k} * \frac{k}{k + 1} * \frac{k + 1}{k + 2} * ... * \frac{n - 1}{n}$$

进一步抵消化简后，可得：

$$P = \frac{1}{n}$$

因此，在每一次 getRandom 时，从前往后处理每个节点，同时记录当前节点的编号，当处理到节点 $k$ 时，在 $[0, k)$ 范围内进行随机，若随机到结果为 $0$（发生概率为 $\frac{1}{k}$），则将节点 $k$ 的值存入答案，最后一次覆盖答案的节点即为本次抽样结果。

代码（感谢 @Benhao 同学提供的其他语言版本）：

class Solution {
    ListNode head;
    Random random = new Random(20220116);
    public Solution(ListNode _head) {
        head = _head;
    }
    public int getRandom() {
        int ans = 0, idx = 0;
        ListNode t = head;
        while (t != null && ++idx >= 0) {
            if (random.nextInt(idx) == 0) ans = t.val;
            t = t.next;
        }
        return ans;
    }
}

-

class Solution:

    def __init__(self, head: Optional[ListNode]):
        self.root = head

    def getRandom(self) -> int:
        node, ans, i = self.root, None, 0
        while node:
            if not randint(0, i):
                ans = node.val
            node, i = node.next, i + 1
        return ans

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type Solution struct {
    Root *ListNode
}
func Constructor(head *ListNode) Solution {
    return Solution{head}
}
func (this *Solution) GetRandom() (ans int) {
    for node, idx := this.Root, 1;node != nil; idx++ {
        if rand.Intn(idx) == 0{
            ans = node.Val
        }
        node = node.Next
    }
    return
}

• 时间复杂度：令 $n$ 为链表长度，随机获取某个值的复杂度为 $O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.382 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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