LC 334. 递增的三元子序列

题目描述

这是 LeetCode 上的 334. 递增的三元子序列 ，难度为 中等。

给你一个整数数组 nums，判断这个数组中是否存在长度为 $3$ 的递增子序列。

如果存在这样的三元组下标 (i, j, k) 且满足 i < j < k ，使得 nums[i] < nums[j] < nums[k] ，返回 true ；否则，返回 false。

示例 1：

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输入：nums = [1,2,3,4,5]

输出：true

解释：任何 i < j < k 的三元组都满足题意

示例 2：
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输入：nums = [5,4,3,2,1]

输出：false

解释：不存在满足题意的三元组

示例 3：
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输入：nums = [2,1,5,0,4,6]

输出：true

解释：三元组 (3, 4, 5) 满足题意，因为 nums[3] == 0 < nums[4] == 4 < nums[5] == 6

提示：

  • $1 <= nums.length <= 5 * 10^5$
  • $-2^{31} <= nums[i] <= 2^{31} - 1$

进阶：你能实现时间复杂度为 $O(n$) ，空间复杂度为 $O(1)$ 的解决方案吗？

最长上升子序列（贪心 + 二分）

题目要我们判断是否存在长度为 $3$ 的上升子序列，问题可以转换为求 $nums$ 的最长上升子序列（LIS 问题）的长度。

如果 $nums$ 的最长上升子序列长度大于等于 $3$，那么原问题答案为 True，否则为 False。

而求最长上升子序列的最优解是有基于「贪心 + 二分」的 $O(n\log{n})$ 做法，对此不了解的同学，可以先看前置 🧀 ：LCS 问题与 LIS 问题的相互关系，以及 LIS 问题的最优解证明，里面详细讲解了 LIS 的贪心解证明，以及与最长公共子序列（LCS 问题）的相互关系，本次不再赘述。

简单来说，就是在遍历每个数 $nums[i]$ 的同时，维护一个具有单调性的 $f[]$ 数组，其中 $f[len] = x$ 代表长度为 $len$ 的最长上升子序列最小结尾元素为 $x$，可以证明 $f$ 数组具有单调性（看 前置🧀），因此每次可以通过二分找到小于 $nums[i]$ 的最大下标，来作为 $nums[i]$ 的前一个数。

综上，我们使用 LIS 的「贪心 + 二分」做法求得最长上升子序列的最大长度，然后和 $3$ 比较即可得出答案。

代码（感谢 @🍭可乐可乐吗QAQ 同学提供的其他语言版本）：

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class Solution {
    public boolean increasingTriplet(int[] nums) {
        int n = nums.length, ans = 1;
        int[] f = new int[n + 1];
        Arrays.fill(f, 0x3f3f3f3f);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int t = nums[i];
            int l = 1, r = i + 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r >> 1;
                if (f[mid] >= t) r = mid;
                else l = mid + 1;
            }
            f[r] = t;
            ans = Math.max(ans, r);
        }
        return ans >= 3;
    }
}

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class Solution {
public:
    bool increasingTriplet(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), ans = 1;
        vector<int> f(n + 1, INT_MAX);
        for(int i = 0; i < n; i++){
            int t = nums[i];
            int L = 1, R = i + 1;
            while(L < R){
                int mid = L + R >> 1;
                if(f[mid] >= t) R = mid;
                else L = mid + 1;
            }
            f[R] = t;
            ans = max(ans, R);
        }
        return ans >= 3;
    }
};

  • 时间复杂度：$O(n\log{n})$
  • 空间复杂度：$O(n)$

优化 : 定长上升子序列（贪心）

利用本题只需要我们判定是否存在长度为 $3$ 的上升子序列，而不需要回答 LIS 最大长度。

我们可以对 $f$ 数组进行优化：使用有限变量进行替换（将 $f$ 数组的长度压缩为 $2$），数组含义不变，$f[1] = x$ 代表长度为 $1$ 的上升子序列最小结尾元素为 $x$，$f[2] = y$ 代表长度为 $2$ 的上升子序列的最小结尾元素为 $y$。

从前往后扫描每个 $nums[i]$，每次将 $nums[i]$ 分别与 $f[1]$ 和 $f[2]$ 进行比较，如果能够满足 $nums[i] > f[2]$，代表 $nums[i]$ 能够接在长度为 $2$ 的上升子序列的后面，直接返回 True，否则尝试使用 $nums[i]$ 来更新 $f[1]$ 和 $f[2]。$

这样，我们只使用了有限变量，每次处理 $nums[i]$ 只需要和有限变量进行比较，时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。

代码（感谢 @🍭可乐可乐吗QAQ 和 @Benhao 同学提供的其他语言版本）：

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class Solution {
    public boolean increasingTriplet(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        long[] f = new long[3];
        f[1] = f[2] = (int)1e19;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int t = nums[i];
            if (f[2] < t) return true;
            else if (f[1] < t && t < f[2]) f[2] = t;
            else if (f[1] > t) f[1] = t;
        }
        return false;
    }
}

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class Solution:
    def increasingTriplet(self, nums: List[int]) -> bool:
        n = len(nums)
        f = [inf] * 3
        for i in range(n):
            t = nums[i]
            if f[2] < t:
                return True
            elif f[1] < t < f[2]:
                f[2] = t
            elif f[1] > t:
                f[1] = t
        return False

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func increasingTriplet(nums []int) bool {
    n := len(nums)
    f := []int{math.MaxInt32,math.MaxInt32,math.MaxInt32}
    for i := 0; i < n; i++ {
        t := nums[i]
        if f[2] < t{
            return true
        } else if f[1] < t && t < f[2]{
            f[2] = t
        } else if f[1] > t {
            f[1] = t
        }
    }
    return false
}

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class Solution {
public:
    bool increasingTriplet(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(3, INT_MAX);
        for(int i = 0; i < n; i++){
            int t = nums[i];
            if(f[2] < t) return true;
            else if(f[1] < t and t < f[2]) f[2] = t;
            else if(f[1] > t) f[1] = t;
        }
        return false;
    }
};

  • 时间复杂度：$O(n)$
  • 空间复杂度：$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.334 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。