LC 851. 喧闹和富有

题目描述

这是 LeetCode 上的 851. 喧闹和富有 ，难度为 中等。

有一组 n 个人作为实验对象，从 0 到 n - 1 编号，其中每个人都有不同数目的钱，以及不同程度的安静值（quietness）。为了方便起见，我们将编号为 x 的人简称为 "person x"。

给你一个数组 richer ，其中 richer[i] = [ai, bi] 表示 $person$ $a_i$ 比 $person$ $b_i$ 更有钱。另给你一个整数数组 quiet，其中 quiet[i] 是 $person_i$ 的安静值。

richer 中所给出的数据 逻辑自恰（也就是说，在 $person_x$ 比 $person_y$ 更有钱的同时，不会出现 $person_y$ 比 $person_x$ 更有钱的情况 ）。

现在，返回一个整数数组 answer 作为答案，其中 answer[x] = y 的前提是，在所有拥有的钱肯定不少于 person x 的人中，person y 是最安静的人（也就是安静值 quiet[y] 最小的人）。

示例 1：

输入：richer = [[1,0],[2,1],[3,1],[3,7],[4,3],[5,3],[6,3]], quiet = [3,2,5,4,6,1,7,0]

输出：[5,5,2,5,4,5,6,7]

解释： 
answer[0] = 5，
person 5 比 person 3 有更多的钱，person 3 比 person 1 有更多的钱，person 1 比 person 0 有更多的钱。
唯一较为安静（有较低的安静值 quiet[x]）的人是 person 7，
但是目前还不清楚他是否比 person 0 更有钱。
answer[7] = 7，
在所有拥有的钱肯定不少于 person 7 的人中（这可能包括 person 3，4，5，6 以及 7），
最安静（有较低安静值 quiet[x]）的人是 person 7。
其他的答案也可以用类似的推理来解释。

示例 2：

输入：richer = [], quiet = [0]

输出：[0]

提示：

• $n == quiet.length$
• $1 <= n <= 500$
• $0 <= quiet[i] < n$
• $quiet$ 的所有值 互不相同
• $0 <= richer.length <= n * (n - 1) / 2$
• $0 <= ai, bi < n$
• $ai != bi$
• richer 中的所有数对 互不相同
• 对 richer 的观察在逻辑上是一致的

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拓扑排序

根据题意，我们可以使用 richer 进行建图（邻接矩阵/邻接表），对于每组 $richer[i] = (a_i, b_i)$ 而言，添加一条从 $a$ 到 $b$ 的有向边（有钱指向没钱）。

其中题目中的「richer 逻辑自恰」是指在该图中不存在环，即为 DAG。

因此我们可以在建图过程中，同时统计每个节点的入度数，然后在图中跑一遍拓扑排序来求得答案 $ans$。

对「图论 拓扑排序」不了解的同学，可以先看前置 🧀：拓扑排序入门，里面详细说明了「拓扑排序的基本流程」&「反向图 + 拓扑排序做法的正确性证明」。

起始时，每个 $ans[i] = i$，然后将统计入度为 $0$ 的节点进行入队，每次出队时，将该节点删掉，对该 DAG 带来影响是「该节点的邻点的入度减一」，若更新入度后数值为 $0$，则将该邻点进行入队操作。

同时，利用跑拓扑排序过程中的 $t -> u$ 关系，尝试使用 $ans[t]$ 更新 $ans[u]$（由于存在 $t$ 指向 $u$ 的边，说明 $t$ 比 $u$ 有钱，此时检查两者的安静值，若满足 $quiet[ans[t]] < quiet[ans[u]]$，则用 $ans[t]$ 更新 $ans[u]$）。

本题为稠密图（点数为 $n$，边数为 $m$，当 $m$ 与 $n^2$ 为同一数据级，定义以为稠密图），可直接使用「邻接矩阵」进行存图。
关于何种图选择什么存图方式，在 这里 详细讲过，本次不再赘述。

代码（$P1$ 为邻接矩阵，$P2$ 为邻接表）：

class Solution {
    public int[] loudAndRich(int[][] richer, int[] quiet) {
        int n = quiet.length;
        int[][] w = new int[n][n];
        int[] in = new int[n];
        for (int[] r : richer) {
            int a = r[0], b = r[1];
            w[a][b] = 1; in[b]++;
        }
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        int[] ans = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ans[i] = i;
            if (in[i] == 0) d.addLast(i);
        }
        while (!d.isEmpty()) {
            int t = d.pollFirst();
            for (int u = 0; u < n; u++) {
                if (w[t][u] == 1) {
                    if (quiet[ans[t]] < quiet[ans[u]]) ans[u] = ans[t];
                    if (--in[u] == 0) d.addLast(u);
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}

class Solution {
    int N = 510, M = N * N + 10;
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M];
    int idx;
    void add(int a, int b) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx;
        idx++;
    }
    public int[] loudAndRich(int[][] richer, int[] quiet) {
        int n = quiet.length;
        int[] in = new int[n];
        Arrays.fill(he, -1);
        for (int[] r : richer) {
            int a = r[0], b = r[1];
            add(a, b); in[b]++;
        }
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        int[] ans = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ans[i] = i;
            if (in[i] == 0) d.addLast(i);
        }
        while (!d.isEmpty()) {
            int t = d.pollFirst();
            for (int i = he[t]; i != -1; i = ne[i]) {
                int u = e[i];
                if (quiet[ans[t]] < quiet[ans[u]]) ans[u] = ans[t];
                if (--in[u] == 0) d.addLast(u);
            }
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：令 $n$ 为 person 数量（点数），$m$ 为 richer 长度（边数）。的建图的复杂度为 $O(m)$；拓扑排序复杂度为 $O(m + n)$。整体复杂度为 $O(m + n)$
• 空间复杂度：$O(m + n)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.851 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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