LC 400. 第 N 位数字

题目描述

这是 LeetCode 上的 400. 第 N 位数字 ，难度为 中等。

给你一个整数 $n$ ，请你在无限的整数序列 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...] 中找出并返回第 $n$ 位数字。

示例 1：

输入：n = 3

输出：3

示例 2：

输入：n = 11

输出：0

解释：第 11 位数字在序列 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... 里是 0 ，它是 10 的一部分。

提示：

• $1 <= n <= 2^{31} - 1$

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模拟

我们知道，对于长度为 $len$ 的数字的范围为 $[10^{len - 1}, 10^{len} - 1]$（共 $9 * 10^{len - 1}$ 个），总长度为：

$$L = len * 9 * 10^{len - 1}$$

因此我们可以先对 $n$ 进行不断试减（更新 $n$），确定下来目标数字 $x$ 的长度为多少，假设为 $len$。

然后直接计算出长度 $len$ 的最小值为 $s = 10^{len - 1}$，由于范围内的数长度都是 $len$，因此我们可以直接定位到目标数字 $x$ 为何值。

根据目标值 $x$ 必然满足关系式：

$$(x - s + 1) * len \geq n$$

变形可得：

$$x \geq \left \lfloor \frac{n}{len} \right \rfloor - 1 + s$$

对 $n$ 进行最后一次的试减（更新 $n$），若恰好有 $n = 0$，说明答案为 $x$ 的最后一位，可由 x % 10 取得；若大于 $0$，说明答案是 $x + 1$ 的第 $n$ 位（十进制表示，从左往右数），可由 (x + 1) / (int) (Math.pow(10, len - n)) % 10 取得。

代码：

class Solution {
    public int findNthDigit(int n) {
        int len = 1;
        while (len * 9 * Math.pow(10, len - 1) < n) {
            n -= len * 9 * Math.pow(10, len - 1);
            len++;
        }
        long s = (long) Math.pow(10, len - 1);
        long x = n / len - 1 + s;
        n -= (x - s + 1) * len;
        return n == 0 ? (int) (x % 10) : (int) ((x + 1) / Math.pow(10, len - n) % 10);
    }
}

• 时间复杂度：$O(\log{n})$
• 空间复杂度：$O(1)$

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补充

看到评论区，不少小伙伴对上述推导理解感到困难。我们可以换个思路，从更加纯粹直接的角度进行分析。

首先和上述解法一样，我们还是需要先对 $n$ 进行第一阶段的试减（更新 $n$），得到目标数字所在的数值的长度 $len$ 是多少。

然后根据 $len$ 我们可以算得起点值 $s = 10^{len - 1}$（例如 $len = 2$ 时，$s = 10$；$len = 3$ 时，$s = 100$）。

由于每个数长度都是 $len$，因此我们可以用剩余的数 $n$ 除 $len$，得到从起点的偏移量是多少（并将偏移量累加更新到 $s$），然后对 $n$ 做第二阶段的试减，减去的值就是 $\left \lfloor \frac{n}{len} \right \rfloor * len$。

如果试减后结果恰好为 $0$，那么答案为当前 $s$ 的最后一个数字；否则（试减结果大于 $0$），则是 $x + 1$ 中（十进制表示，从左往右数）的第 $n$ 个数字。

代码：

class Solution {
    public int findNthDigit(int n) {
        int len = 1;
        while (len * 9 * Math.pow(10, len - 1) < n) {
            n -= len * 9 * Math.pow(10, len - 1);
            len++;
        }
        long s = (long) Math.pow(10, len - 1);
        s += n / len - 1;
        n -= len * (n / len);
        return n == 0 ? (int) (s % 10) : (int) ((s + 1) / Math.pow(10, len - n) % 10);
    }
}

• 时间复杂度：$O(\log{n})$
• 空间复杂度：$O(1)$

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最终你会发现，两种做法是完全等价的，只是对应了不同的角度描述而已。

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.400 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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