LC 391. 完美矩形

题目描述

这是 LeetCode 上的 391. 完美矩形 ，难度为 困难。

给你一个数组 rectangles，其中 $rectangles[i] = [x_i, y_i, a_i, b_i]$ 表示一个坐标轴平行的矩形。这个矩形的左下顶点是 $(x_i, y_i)$ ，右上顶点是 $(a_i, b_i)$ 。

如果所有矩形一起精确覆盖了某个矩形区域，则返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：rectangles = [[1,1,3,3],[3,1,4,2],[3,2,4,4],[1,3,2,4],[2,3,3,4]]

输出：true

解释：5 个矩形一起可以精确地覆盖一个矩形区域。 

示例 2：

输入：rectangles = [[1,1,2,3],[1,3,2,4],[3,1,4,2],[3,2,4,4]]

输出：false

解释：两个矩形之间有间隔，无法覆盖成一个矩形。

示例 3：

输入：rectangles = [[1,1,3,3],[3,1,4,2],[1,3,2,4],[3,2,4,4]]

输出：false

解释：图形顶端留有空缺，无法覆盖成一个矩形。

示例 4：

输入：rectangles = [[1,1,3,3],[3,1,4,2],[1,3,2,4],[2,2,4,4]]

输出：false

解释：因为中间有相交区域，虽然形成了矩形，但不是精确覆盖。

提示：

• $1 <= rectangles.length <= 2 \times 10^4$
• $rectangles[i].length = 4$
• $-10^5 <= x_i, y_i, a_i, b_i <= 10^5$

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扫描线

将每个矩形 $rectangles[i]$ 看做两条竖直方向的边，使用 $(x, y1, y2)$ 的形式进行存储（其中 $y1$ 代表该竖边的下端点，$y2$ 代表竖边的上端点），同时为了区分是矩形的左边还是右边，再引入一个标识位，即以四元组 $(x, y1, y2, flag)$ 的形式进行存储。

一个完美矩形的充要条件为：对于完美矩形的每一条非边缘的竖边，都「成对」出现（存在两条完全相同的左边和右边重叠在一起）；对于完美矩形的两条边缘竖边，均独立为一条连续的（不重叠）的竖边。

如图（红色框的为「完美矩形的边缘竖边」，绿框的为「完美矩形的非边缘竖边」）：

• 绿色：非边缘竖边必然有成对的左右两条完全相同的竖边重叠在一起；
• 红色：边缘竖边由于只有单边，必然不重叠，且连接成一条完成的竖边。

代码：

class Solution {
    public boolean isRectangleCover(int[][] rectangles) {
        int n = rectangles.length;
        int[][] rs = new int[n * 2][4];
        for (int i = 0, idx = 0; i < n; i++) {
            int[] re = rectangles[i];
            rs[idx++] = new int[]{re[0], re[1], re[3], 1};
            rs[idx++] = new int[]{re[2], re[1], re[3], -1};
        }
        Arrays.sort(rs, (a,b)->{
            if (a[0] != b[0]) return a[0] - b[0];
            return a[1] - b[1];
        });
        n *= 2;
        // 分别存储相同的横坐标下「左边的线段」和「右边的线段」 (y1, y2)
        List<int[]> l1 = new ArrayList<>(), l2 = new ArrayList<>(); 
        for (int l = 0; l < n; ) {
            int r = l;
            l1.clear(); l2.clear();
            // 找到横坐标相同部分
            while (r < n && rs[r][0] == rs[l][0]) r++;
            for (int i = l; i < r; i++) {
                int[] cur = new int[]{rs[i][1], rs[i][2]};
                List<int[]> list = rs[i][3] == 1 ? l1 : l2;
                if (list.isEmpty()) {
                    list.add(cur);
                } else {
                    int[] prev = list.get(list.size() - 1);
                    if (cur[0] < prev[1]) return false; // 存在重叠
                    else if (cur[0] == prev[1]) prev[1] = cur[1]; // 首尾相连
                    else list.add(cur); 
                }
            }
            if (l > 0 && r < n) {
                // 若不是完美矩形的边缘竖边，检查是否成对出现
                if (l1.size() != l2.size()) return false;
                for (int i = 0; i < l1.size(); i++) {
                    if (l1.get(i)[0] == l2.get(i)[0] && l1.get(i)[1] == l2.get(i)[1]) continue;
                    return false;
                }
            } else {
                // 若是完美矩形的边缘竖边，检查是否形成完整一段
                if (l1.size() + l2.size() != 1) return false;
            }
            l = r;
        }
        return true;
    }
}

• 时间复杂度：将 rectangles 划分成边集的复杂度为 $O(n)$；对边集进行排序的复杂度为 $O(n\log{n})$，对排序好的边集进行遍历检查，每条边会被扫描线性次，复杂度为 $O(n)$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$
• 空间复杂度：$O(n)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.391 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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