LC 剑指 Offer II 069. 山峰数组的顶部
题目描述
这是 LeetCode 上的 剑指 Offer II 069. 山峰数组的顶部 ，难度为 简单。
符合下列属性的数组 arr 称为 山峰数组（山脉数组） ：
arr.length >= 3- 存在
i（0 < i < arr.length - 1）使得：arr[0] < arr[1] < ... arr[i-1] < arr[i]arr[i] > arr[i+1] > ... > arr[arr.length - 1]
给定由整数组成的山峰数组 arr ，返回任何满足 arr[0] < arr[1] < ... arr[i - 1] < arr[i] > arr[i + 1] > ... > arr[arr.length - 1] 的下标 i ，即山峰顶部。
示例 1：1
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3输入：arr = [0,1,0]
输出：1
示例 2：1
2
3输入：arr = [1,3,5,4,2]
输出：2
示例 3：1
2
3输入：arr = [0,10,5,2]
输出：1
示例 4：1
2
3输入：arr = [3,4,5,1]
输出：2
示例 5：1
2
3输入：arr = [24,69,100,99,79,78,67,36,26,19]
输出：2
提示：
- 3 <= arr.length <= $10^4$
- 0 <= arr[i] <= $10^6$
- 题目数据保证 arr 是一个山脉数组
进阶：很容易想到时间复杂度 O(n) 的解决方案，你可以设计一个 O(log(n)) 的解决方案吗？
二分
往常我们使用「二分」进行查值，需要确保序列本身满足「二段性」：当选定一个端点（基准值）后，结合「一段满足 & 另一段不满足」的特性来实现“折半”的查找效果。
但本题求的是峰顶索引值，如果我们选定数组头部或者尾部元素，其实无法根据大小关系“直接”将数组分成两段。
但可以利用题目发现如下性质：由于 arr 数值各不相同，因此峰顶元素左侧必然满足严格单调递增，峰顶元素右侧必然不满足。
因此 以峰顶元素为分割点的 arr 数组，根据与 前一元素/后一元素 的大小关系，具有二段性：
- 峰顶元素左侧满足 $arr[i-1] < arr[i]$ 性质，右侧不满足
- 峰顶元素右侧满足 $arr[i] > arr[i+1]$ 性质，左侧不满足
因此我们可以选择任意条件，写出若干「二分」版本。
代码：1
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14class Solution {
// 根据 arr[i-1] < arr[i] 在 [1,n-1] 范围内找值
// 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int n = arr.length;
int l = 1, r = n - 1;
while (l < r) {
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (arr[mid - 1] < arr[mid]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return r;
}
}1
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14class Solution {
// 根据 arr[i] > arr[i+1] 在 [0,n-2] 范围内找值
// 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素值
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int n = arr.length;
int l = 0, r = n - 2;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (arr[mid] > arr[mid + 1]) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r;
}
}1
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14class Solution {
// 根据 arr[i-1] > arr[i] 在 [1,n-1] 范围内找值
// 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素的前一个值
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int n = arr.length;
int l = 1, r = n - 1;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (arr[mid - 1] > arr[mid]) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r - 1;
}
}1
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14class Solution {
// 根据 arr[i] < arr[i+1] 在 [0,n-2] 范围内找值
// 峰顶元素为符合条件的最靠近中心的元素的下一个值
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int n = arr.length;
int l = 0, r = n - 2;
while (l < r) {
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (arr[mid] < arr[mid + 1]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return r + 1;
}
}
- 时间复杂度：$O(\log{n})$
- 空间复杂度：$O(1)$
三分
事实上，我们还可以利用「三分」来解决这个问题。
顾名思义，「三分」就是使用两个端点将区间分成三份，然后通过每次否决三分之一的区间来逼近目标值。
具体的，由于峰顶元素为全局最大值，因此我们可以每次将当前区间分为 $[l, m1]$、$[m1, m2]$ 和 $[m2, r]$ 三段，如果满足 $arr[m1] > arr[m2]$，说明峰顶元素不可能存在与 $[m2, r]$ 中，让 $r = m2 - 1$ 即可。另外一个区间分析同理。
代码：1
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13class Solution {
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int n = arr.length;
int l = 0, r = n - 1;
while (l < r) {
int m1 = l + (r - l) / 3;
int m2 = r - (r - l) / 3;
if (arr[m1] > arr[m2]) r = m2 - 1;
else l = m1 + 1;
}
return r;
}
}
- 时间复杂度：$O(\log{n})$
- 空间复杂度：$O(1)$
二分 & 三分 & k 分 ？
必须说明一点，「二分」和「三分」在渐进复杂度上都是一样的，都可以通过换底公式转化为可忽略的常数，因此两者的复杂度都是 $O(\log{n})$。
因此选择「二分」还是「三分」取决于要解决的是什么问题：
- 二分通常用来解决单调函数的找 $target$ 问题，但进一步深入我们发现只需要满足「二段性」就能使用「二分」来找分割点；
- 三分则是解决单峰函数极值问题。
因此一般我们将「通过比较两个端点，每次否决 1/3 区间 来解决单峰最值问题」的做法称为「三分」；而不是简单根据单次循环内将区间分为多少份来判定是否为「三分」。
随手写了一段反例代码：1
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18class Solution {
public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {
int left = 0, right = arr.length - 1;
while(left < right) {
int m1 = left + (right - left) / 3;
int m2 = right - (right - left + 2) / 3;
if (arr[m1] > arr[m1 + 1]) {
right = m1;
} else if (arr[m2] < arr[m2 + 1]) {
left = m2 + 1;
} else {
left = m1;
right = m2;
}
}
return left;
}
}
这并不是「三分」做法，最多称为「变形二分」。本质还是利用「二段性」来做分割的，只不过同时 check 了两个端点而已。
如果这算「三分」的话，那么我能在一次循环里面划分 $k - 1$ 个端点来实现 $k$ 分？
显然这是没有意义的，因为按照这种思路写出来的所谓的「四分」、「五分」、「k 分」是需要增加同等数量的分支判断的。这时候单次 while 决策就不能算作 $O(1)$ 了，而是需要在 $O(k)$ 的复杂度内决定在哪个分支，就跟上述代码有三个分支进行判断一样。 因此，这种写法只能算作是「变形二分」。
综上，只有「二分」和「三分」的概念，不存在所谓的 $k$ 分。 同时题解中的「三分」部分提供的做法就是标准的「三分」做法。
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.剑指 Offer II 069 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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