LC 371. 两整数之和

题目描述

这是 LeetCode 上的 371. 两整数之和 ，难度为 中等。

给你两个整数 a 和 b ，不使用 运算符 + 和 -，计算并返回两整数之和。

示例 1：

输入：a = 1, b = 2

输出：3

示例 2：

输入：a = 2, b = 3

输出：5

提示：

• -1000 <= a, b <= 1000

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位运算

一个朴素的做法是使用「位运算」，利用二进制的「逢二进一」和「int 二进制表示长度为 $32$」，我们可以从低位往高位进行处理，处理过程中使用变量 $t$ 记录进位信息。

然后对两数当前位进行分情况讨论：

• 两个当前位均为 $1$：此时当前位是什么取决于前一位的进位情况，即有 ans |= (t << i)，同时进位 $t = 1$；
• 两个当前位只有一位是 $1$：此时当前位是什么取决于前一位的进位情况（整理后可统一为 ans |= ((1 ^ t） << i)：
  • 前一进位若为 $1$，结合该位为 $1$，则有当前位为 $0$，进位不变 $t = 1$；
  • 前一进位若为 $0$，结合该位为 $1$，则有当前位为 $1$，进位不变 $t = 0$；
• 两个当前位为 $0$：此时当前位是什么取决于前一位的进位情况，则有 ans |= (t << i)，同时进位 $t = 0$。

代码：

class Solution {
    public int getSum(int a, int b) {
        int ans = 0;
        for (int i = 0, t = 0; i < 32; i++) {
            int u1 = (a >> i) & 1, u2 = (b >> i) & 1;
            if (u1 == 1 && u2 == 1) {
                ans |= (t << i);
                t = 1;
            } else if (u1 == 1 || u2 == 1) {
                ans |= ((1 ^ t) << i);
            } else {
                ans |= (t << i);
                t = 0;
            }
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：$O(C)$，$C$ 为常数，固定为 $32$
• 空间复杂度：$O(1)$

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递归

在彻底理解「解法一」后，不难发现「解法一」中本质是分别对两数的当前位进行“拆分”求解。

先计算原始的 $a$ 的和原始 $b$ 在不考虑进位的情况下的结果，结果为 a ^ b，然后在此基础上，考虑将进位累加进来，累加操作可以递归使用 getSum 来处理。

问题转化为如何求得 $a$ 和 $b$ 的进位值。

不难发现，当且仅当 $a$ 和 $b$ 的当前位均为 $1$，该位才存在进位，同时进位回应用到当前位的下一位（左边的一边，高一位），因此最终的进位结果为 (a & b) << 1。

因此，递归调用 getSum(a ^ b, (a & b) << 1) 我们可以得到最终答案。

最后还要考虑，该拆分过程何时结束。

由于在进位结果 (a & b) << 1 中存在左移操作，因此最多执行 $32$ 次的递归操作之后，该值会变为 $0$，而 $0$ 与任何值 $x$ 相加结果均为 $x$。

代码：

class Solution {
    public int getSum(int a, int b) {
        return b == 0 ? a : getSum(a ^ b, (a & b) << 1);
    }
}

• 时间复杂度：令 $C$ 为常数，固定为 $32$，最多执行 $C$ 次的 (a & b) << 1，递归过程结束。复杂度为 $O(C)$
• 空间复杂度：$O(1)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.371 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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