LC 162. 寻找峰值

题目描述

这是 LeetCode 上的 162. 寻找峰值 ，难度为 中等。

峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。

你必须实现时间复杂度为 $O(\log{n})$ 的算法来解决此问题。

示例 1：

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输入：nums = [1,2,3,1]

输出：2

解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。

示例 2：
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输入：nums = [1,2,1,3,5,6,4]

输出：1 或 5 

解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；
     或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。

提示：

  • $1 <= nums.length <= 1000$
  • $-2^{31} <= nums[i] <= 2^{31} - 1$
  • 对于所有有效的 i 都有 nums[i] != nums[i + 1]

模拟

由于数据范围只有 $1000$，使用线性扫描找峰值的模拟做法也是没有问题。

代码：

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class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            boolean ok = true;
            if (i - 1 >= 0) {
                if (nums[i - 1] >= nums[i]) ok = false;
            }
            if (i + 1 < n) {
                if (nums[i + 1] >= nums[i]) ok = false;
            }
            if (ok) return i;
        }
        return -1;
    }
}

  • 时间复杂度：$O(n)$
  • 空间复杂度：$O(1)$

二分

题目让我们实现一个 $O(\log{n})$ 算法，这是对使用「二分」的强烈暗示。

和往常的题目一样，我们应当从是否具有「二段性」来考虑是否可以进行「二分」。

不难发现，如果 在确保有解的情况下，我们可以根据当前的分割点 $mid$ 与左右元素的大小关系来指导 $l$ 或者 $r$ 的移动。

假设当前分割点 $mid$ 满足关系 $num[mid] > nums[mid + 1]$ 的话，一个很简单的想法是 $num[mid]$ 可能为峰值，而 $nums[mid + 1]$ 必然不为峰值，于是让 $r = mid$，从左半部分继续找峰值。

估计不少同学靠这个思路 AC 了，只能说做法对了，分析没对。

上述做法正确的前提有两个：

  1. 对于任意数组而言，一定存在峰值（一定有解）；
  2. 二分不会错过峰值。

我们分别证明一下。

证明 $1$ ：对于任意数组而言，一定存在峰值（一定有解）

根据题意，我们有「数据长度至少为 $1$」、「越过数组两边看做负无穷」和「相邻元素不相等」的起始条件。

我们可以根据数组长度是否为 $1$ 进行分情况讨论：

  1. 数组长度为 $1$，由于边界看做负无穷，此时峰值为该唯一元素的下标；

  2. 数组长度大于 $1$，从最左边的元素 $nums[0]$ 开始出发考虑：

    • 如果 $nums[0] > nums[1]$，那么最左边元素 $nums[0]$ 就是峰值（结合左边界为负无穷）；
    • 如果 $nums[0] < nums[1]$，由于已经存在明确的 $nums[0]$ 和 $nums[1]$ 大小关系，我们将 $nums[0]$ 看做边界， $nums[1]$ 看做新的最左侧元素，继续往右进行分析：
      • 如果在到达数组最右侧前，出现 $nums[i] > nums[i + 1]$，说明存在峰值位置 $i$（当我们考虑到 $nums[i]$，必然满足 $nums[i]$ 大于前一元素的前提条件，当然前一元素可能是原始左边界）；
      • 到达数组最右侧，还没出现 $nums[i] > nums[i + 1]$，说明数组严格递增。此时结合右边界可以看做负无穷，可判定 $nums[n - 1]$ 为峰值。

综上，我们证明了无论何种情况，数组必然存在峰值。

证明 $2$ ：二分不会错过峰值

其实基于「证明 $1$」，我们很容易就可以推理出「证明 $2$」的正确性。

整理一下由「证明 $1$」得出的推理：如果当前位置大于其左边界或者右边界，那么在当前位置的右边或左边必然存在峰值。

换句话说，对于一个满足 $nums[x] > nums[x - 1]$ 的位置，$x$ 的右边一定存在峰值；或对于一个满足 $nums[x] > nums[x + 1]$ 的位置，$x$ 的左边一定存在峰值。

因此这里的「二段性」其实是指：在以 $mid$ 为分割点的数组上，根据 $nums[mid]$ 与 $nums[mid \pm 1]$ 的大小关系，可以确定其中一段满足「必然有解」，另外一段不满足「必然有解」（可能有解，可能无解）。

如果不理解为什么「证明 $2$」的正确性可以由「证明 $1$」推导而出的话，可以重点看看「证明 $1$」的第 $2$ 点的证明。

至此，我们证明了始终选择大于边界一端进行二分，可以确保选择的区间一定存在峰值，并随着二分过程不断逼近峰值位置。

另外，为了照顾还在纠结使用什么“模板”的同学，特意写了两个版本。但其实只要搞清楚我们「二分」什么内容，根本不会存在说用哪种方式才能写过的情况。

代码：

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class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (nums[mid] > nums[mid + 1]) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
}

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class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        if (n == 1) return 0;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (nums[mid] > nums[mid - 1]) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return r;
    }
}
  • 时间复杂度：$O(\log{n})$
  • 空间复杂度：$O(1)$

总结

通过本题，我们可以对「二分」有进一步的认识。

最早在 33. 搜索旋转排序数组 中，我们强调，二分的本质是「二段性」而非「单调性」，而经过本题，我们进一步发现「二段性」还能继续细分，不仅仅只有满足 $01$ 特性（满足/不满足）的「二段性」可以使用二分，满足 $1?$ 特性（一定满足/不一定满足）也可以二分。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.162 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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