LC 502. IPO

题目描述

这是 LeetCode 上的 502. IPO ，难度为 困难。

假设 力扣（LeetCode）即将开始 IPO 。

为了以更高的价格将股票卖给风险投资公司，力扣 希望在 IPO 之前开展一些项目以增加其资本。

由于资源有限，它只能在 IPO 之前完成最多 k 个不同的项目。

帮助 力扣 设计完成最多 k 个不同项目后得到最大总资本的方式。

给你 n 个项目。对于每个项目 i ，它都有一个纯利润 profits[i] ，和启动该项目需要的最小资本 capital[i] 。

最初，你的资本为 w 。当你完成一个项目时，你将获得纯利润，且利润将被添加到你的总资本中。

总而言之，从给定项目中选择 最多 k 个不同项目的列表，以 最大化最终资本 ，并输出最终可获得的最多资本。

答案保证在 32 位有符号整数范围内。

示例 1：

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输入：k = 2, w = 0, profits = [1,2,3], capital = [0,1,1]

输出：4

解释：
由于你的初始资本为 0，你仅可以从 0 号项目开始。
在完成后，你将获得 1 的利润，你的总资本将变为 1。
此时你可以选择开始 1 号或 2 号项目。
由于你最多可以选择两个项目，所以你需要完成 2 号项目以获得最大的资本。
因此，输出最后最大化的资本，为 0 + 1 + 3 = 4。

示例 2：
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输入：k = 3, w = 0, profits = [1,2,3], capital = [0,1,2]

输出：6

提示：

  • 1 <= k <= $10^5$
  • 0 <= w <= $10^9$
  • n == profits.length
  • n == capital.length
  • 1 <= n <= $10^5$
  • 0 <= profits[i] <= $10^4$
  • 0 <= capital[i] <= $10^9$

贪心 + 优先队列（堆）

由于每完成一个任务都会使得总资金 w 增加或不变。因此对于所选的第 $i$ 个任务而言，应该在所有「未被选择」且启动资金不超过 w 的所有任务里面选利润最大的。

可通过「归纳法」证明每次都在所有候选中选择利润最大的任务，可使得总资金最大。

对于第 $i$ 次选择而言（当前所有的资金为 $w$），如果选择的任务利润为 $cur$，而实际可选的最大任务利润为 $max$（ $cur <= max$ ）。

将「选择 $cur$」调整为「选择 $max$」，结果不会变差：

  1. 根据传递性，由 $cur <= max$ 可得 $w + cur <= w + max$，可推导出调整后的总资金不会变少；
  2. 利用推论 $1$，由于总资金相比调整前没有变少，因此后面可选择的任务集合也不会变少。这意味着 至少可以维持 第 $i$ 次选择之后的所有原有选择。

至此，我们证明了将每次的选择调整为选择最大利润的任务，结果不会变差。

当知道了「每次都应该在所有可选择的任务里选利润最大」的推论之后，再看看算法的具体流程。

由于每完成一个任务总资金都会 增大/不变，因此所能覆盖的任务集合数量也随之 增加/不变 。

因此算法核心为「每次决策前，将启动资金不超过当前总资金的任务加入集合，再在里面取利润最大的任务」。

「取最大」的过程可以使用优先队列（根据利润排序的大根堆），而「将启动资金不超过当前总资金的任务加入集合」的操作，可以利用总资金在整个处理过程递增，而先对所有任务进行预处理排序来实现。

具体的，我们可以按照如下流程求解：

  1. 根据 profits 和 capital 预处理出总的任务集合二元组，并根据「启动资金」进行升序排序；

  2. 每次决策前，将所有的启动资金不超过 $w$ 的任务加入优先队列（根据利润排序的大根堆），然后从优先队列（根据利润排序的大根堆），将利润累加到 $w$；

  3. 循环步骤 $2$，直到达到 $k$ 个任务，或者队列为空（当前资金不足以选任何任务）。

代码：

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class Solution {
    public int findMaximizedCapital(int k, int w, int[] profits, int[] capital) {
        int n = profits.length;
        List<int[]> list = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            list.add(new int[]{capital[i], profits[i]});
        }
        Collections.sort(list, (a,b)->a[0]-b[0]);
        PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>((a,b)->b-a);
        int i = 0;
        while (k-- > 0) {
            while (i < n && list.get(i)[0] <= w) q.add(list.get(i++)[1]);
            if (q.isEmpty()) break;
            w += q.poll();
        }
        return w;
    }
}
  • 时间复杂度：构造出二元组数组并排序的复杂度为 $O(n\log{n})$；大根堆最多有 $n$ 个元素，使用大根堆计算答案的复杂度为 $O(k\log{n})$。整体复杂度为 $O(\max(n\log{n}, k\log{n}))$
  • 空间复杂度：$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.502 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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