LC 789. 逃脱阻碍者

题目描述

这是 LeetCode 上的 789. 逃脱阻碍者 ，难度为 中等。

你在进行一个简化版的吃豆人游戏。你从 [0, 0] 点开始出发，你的目的地是 target = [xtarget, ytarget] 。地图上有一些阻碍者，以数组 ghosts 给出，第 i 个阻碍者从 ghosts[i] = [xi, yi] 出发。所有输入均为 整数坐标 。

每一回合，你和阻碍者们可以同时向东，西，南，北四个方向移动，每次可以移动到距离原位置 1 个单位 的新位置。当然，也可以选择 不动 。所有动作 同时 发生。

如果你可以在任何阻碍者抓住你 之前 到达目的地（阻碍者可以采取任意行动方式），则被视为逃脱成功。如果你和阻碍者同时到达了一个位置（包括目的地）都不算是逃脱成功。

只有在你有可能成功逃脱时，输出 true ；否则，输出 false 。

示例 1：

输入：ghosts = [[1,0],[0,3]], target = [0,1]

输出：true

解释：你可以直接一步到达目的地 (0,1) ，在 (1, 0) 或者 (0, 3) 位置的阻碍者都不可能抓住你。 

示例 2：

输入：ghosts = [[1,0]], target = [2,0]

输出：false

解释：你需要走到位于 (2, 0) 的目的地，但是在 (1, 0) 的阻碍者位于你和目的地之间。 

示例 3：

输入：ghosts = [[2,0]], target = [1,0]

输出：false

解释：阻碍者可以和你同时达到目的地。 

示例 4：

输入：ghosts = [[5,0],[-10,-2],[0,-5],[-2,-2],[-7,1]], target = [7,7]

输出：false

示例 5：

输入：ghosts = [[-1,0],[0,1],[-1,0],[0,1],[-1,0]], target = [0,0]

输出：true

提示：

• 1 <= ghosts.length <= 100
• ghosts[i].length == 2
• -$10^4$ <= xi, yi <= $10^4$
• 同一位置可能有 多个阻碍者 。
• target.length == 2
• -$10^4$ <= xtarget, ytarget <= $10^4$

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数学

从数据范围 $-10^4 <= x{target}, y{target} <= 10^4$ 且每次只能移动一个单位（或不移动）就注定了不能使用朴素的 BFS 进行求解。

朴素的 BFS 是指每次在玩家移动一步前，先将阻碍者可以一步到达的位置“置灰”（即设为永不可达），然后判断玩家是否能够到达 $target$。

朴素 BFS 本质是模拟，由于棋盘足够大，步长只有 $1$，因此该做法显然会 TLE。

是否有比模拟更快的做法呢？

根据「树的直径」类似的证明，我们可以证明出「如果一个阻碍者能够抓到玩家，必然不会比玩家更晚到达终点」。

为了方便，我们设玩家起点、阻碍者起点、终点分别为 $s$、$e$ 和 $t$，计算两点距离的函数为 $dist(x, y)$。

假设玩家从 $s$ 到 $t$ 的路径中会经过点 $k$，当且仅当 $dist(e, k) <= dist(s, k)$，即「阻碍者起点与点 $k$ 的距离」小于等于「玩家起点与点 $k$ 的距离」时，阻碍者可以在点 $k$ 抓到玩家。

由于「玩家到终点」以及「阻碍者到终点」的路径存在公共部分 $dist(k, t)$，可推导出：

$$dist(e, k) + dist(k, t) <= dist(s, k) + dist(k, t)$$

即得证 如果一个阻碍者能够抓到玩家，那么该阻碍者必然不会比玩家更晚到达终点。

由于步长为 $1$，且移动规则为上下左右四联通方向，因此 $dist(x, y)$ 的实现为计算两点的曼哈顿距离。

代码：

class Solution {
    int dist(int x1, int y1, int x2, int y2) {
        return Math.abs(x1 - x2) + Math.abs(y1 - y2);
    }
    public boolean escapeGhosts(int[][] gs, int[] t) {
        int cur = dist(0, 0, t[0], t[1]);
        for (int[] g : gs) {
            if (dist(g[0], g[1], t[0], t[1]) <= cur) return false;
        }
        return true;
    }
}

• 时间复杂度：令 $gs$ 长度为 $n$，计算曼哈顿距离复杂度为 $O(1)$，整体复杂度为 $O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.789 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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