LC 413. 等差数列划分

题目描述

这是 LeetCode 上的 413. 等差数列划分 ，难度为 中等。

如果一个数列 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。

例如，[1,3,5,7,9]、[7,7,7,7] 和 [3,-1,-5,-9] 都是等差数列。

给你一个整数数组 nums ，返回数组 nums 中所有为等差数组的 子数组 个数。

子数组 是数组中的一个连续序列。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4]

输出：3

解释：nums 中有三个子等差数组：[1, 2, 3]、[2, 3, 4] 和 [1,2,3,4] 自身。

示例 2：

输入：nums = [1]

输出：0

提示：

• $1 <= nums.length <= 5000$
• $-1000 <= nums[i] <= 1000$

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双指针

具体的，我们可以枚举 $i$ 作为差值为 $d$ 的子数组的左端点，然后通过「双指针」的方式找到当前等差并最长的子数组的右端点 $j$，令区间 $[i, j]$ 长度为 $len$。

那么显然，符合条件的子数组的数量为：

$$cnt = \sum_{k = 3}^{len}countWithArrayLength(k)$$

函数 int countWithArrayLength(int k) 求的是长度为 $k$ 的子数组的数量。

不难发现，随着入参 $k$ 的逐步减小，函数返回值逐步增大。

因此上述结果 $cnt$ 其实是一个 首项为 $1$，末项为 $len - 3 + 1$，公差为 $1$ 的等差数列的求和结果。直接套用「等差数列求和」公式求解即可。

代码：

class Solution {
    public int numberOfArithmeticSlices(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n - 2; ) {
            int j = i, d = nums[i + 1] - nums[i];
            while (j + 1 < n && nums[j + 1] - nums[j] == d) j++;
            int len = j - i + 1;
            // a1：长度为 len 的子数组数量；an：长度为 3 的子数组数量
            int a1 = 1, an = len - 3 + 1;
            // 符合条件（长度大于等于3）的子数组的数量为「差值数列求和」结果
            int cnt = (a1 + an) * an / 2;
            ans += cnt;
            i = j;
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.413 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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