LC 313. 超级丑数

题目描述

这是 LeetCode 上的 313. 超级丑数 ，难度为 中等。

超级丑数 是一个正整数，并满足其所有质因数都出现在质数数组 primes 中。

给你一个整数 n 和一个整数数组 primes ，返回第 n 个 超级丑数 。

题目数据保证第 n 个 超级丑数 在 32-bit 带符号整数范围内。

示例 1：

输入：n = 12, primes = [2,7,13,19]

输出：32 

解释：给定长度为 4 的质数数组 primes = [2,7,13,19]，前 12 个超级丑数序列为：[1,2,4,7,8,13,14,16,19,26,28,32] 。

示例 2：

输入：n = 1, primes = [2,3,5]

输出：1

解释：1 不含质因数，因此它的所有质因数都在质数数组 primes = [2,3,5] 中。

提示：

• 1 <= n <= $10^6$
• 1 <= primes.length <= 100
• 2 <= primes[i] <= 1000
• 题目数据 保证 primes[i] 是一个质数
• primes 中的所有值都 互不相同 ，且按 递增顺序 排列

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基本分析

类似的题目在之前的每日一题也出现过。

本题做法与 264. 丑数 II 类似，相关题解在 这里。

回到本题，根据丑数的定义，我们有如下结论：

• $1$ 是最小的丑数。
• 对于任意一个丑数 $x$，其与任意给定的质因数 $primes[i]$ 相乘，结果仍为丑数。

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优先队列（堆）

有了基本的分析思路，一个简单的解法是使用优先队列：

1. 起始先将最小丑数 $1$ 放入队列
2. 每次从队列取出最小值 $x$，然后将 $x$ 所对应的丑数 $x * primes[i]$ 进行入队。
3. 对步骤 $2$ 循环多次，第 $n$ 次出队的值即是答案。

为了防止同一丑数多次进队，我们可以使用数据结构 $Set$ 来记录入过队列的丑数，但该做法常数较大，容易被卡。

利用题目规定的答案为 $int$ 范围，以及丑数性质，我们可以直接在入队的时候做控制。

代码：

class Solution {
    public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
        PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>();
        q.add(1);
        while (n-- > 0) {
            int x = q.poll();
            if (n == 0) return x;
            for (int k : primes) {
                if (k <= Integer.MAX_VALUE / x) q.add(k * x);
                if (x % k == 0) break;
            }
        }
        return -1; // never
    }
}

• 时间复杂度：令 $primes$ 长度为 $m$，需要从优先队列（堆）中弹出 $n$ 个元素，每次弹出最多需要放入 $m$ 个元素，堆中最多有 $n m$ 个元素。复杂度为 $O(n m \log{(n * m)})$
• 空间复杂度：$O(n * m)$

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多路归并

从解法一中不难发现，我们「往后产生的丑数」都是基于「已有丑数」而来（使用「已有丑数」乘上「给定质因数」$primes[i]$）。

因此，如果我们所有丑数的有序序列为 $a1,a2,a3,…,an$ 的话，序列中的每一个数都必然能够被以下三个序列（中的至少一个）覆盖（这里假设 $primes = [2,3,5]$）：

• 由丑数 $2$ 所得的有序序列：$1 2$、$2 2$、$3 2$、$4 2$、$5 2$、$6 2$、$8 2$ …
• 由丑数 $3$ 所得的有序序列：$1 3$、$2 3$、$3 3$、$4 3$、$5 3$、$6 3$、$8 3$ …
• 由丑数 $5$ 所得的有序序列：$1 5$、$2 5$、$3 5$、$4 5$、$5 5$、$6 5$、$8 5$ …

我们令这些有序序列为 $arr$，最终的丑数序列为 $ans$。

如果 $primes$ 的长度为 $m$ 的话，我们可以使用 $m$ 个指针来指向这 $m$ 个有序序列 $arr$ 的当前下标。

显然，我们需要每次取 $m$ 个指针中值最小的一个，然后让指针后移（即将当前序列的下一个值放入堆中），不断重复这个过程，直到我们找到第 $n$ 个丑数。

当然，实现上，我们并不需要构造出这 $m$ 个有序序列。

我们可以构造一个存储三元组的小根堆，三元组信息为 $(val, i, idx)$：

• $val$ ：为当前列表指针指向具体值；
• $i$ ：代表这是由 $primes[i]$ 构造出来的有序序列；
• $idx$：代表丑数下标，存在关系 $val = ans[idx] * primes[i]$。

起始时，我们将所有的 $(primes[i], i, 0)$ 加入优先队列（堆）中，每次从堆中取出最小元素，那么下一个该放入的元素为 $(ans[idx + 1] * primes[i], i, idx + 1)$。

另外，由于我们每个 $arr$ 的指针移动和 $ans$ 的构造，都是单调递增，因此我们可以通过与当前最后一位构造的 $ans[x]$ 进行比较来实现去重，而无须引用常数较大的 Set 结构。

代码：

class Solution {
    public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
        int m = primes.length;
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a[0]-b[0]); 
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            q.add(new int[]{primes[i], i, 0});
        }
        int[] ans = new int[n];
        ans[0] = 1;
        for (int j = 1; j < n; ) {
            int[] poll = q.poll();
            int val = poll[0], i = poll[1], idx = poll[2];
            if (val != ans[j - 1]) ans[j++] = val;
            q.add(new int[]{ans[idx + 1] * primes[i], i, idx + 1});
        }
        return ans[n - 1];
    }
}

• 时间复杂度：需要构造长度为 $n$ 的答案，每次构造需要往堆中取出和放入元素，堆中有 $m$ 个元素，起始时，需要对 $primes$ 进行遍历，复杂度为 $O(m)$。整体复杂度为 $O(\max(m, n\log{m}))$
• 空间复杂度：存储 $n$ 个答案，堆中有 $m$ 个元素，复杂度为 $O(n + m)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.313 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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