LC 457. 环形数组是否存在循环

题目描述

这是 LeetCode 上的 457. 环形数组是否存在循环 ，难度为 中等。

存在一个不含 $0$ 的 环形 数组 $nums$ ，每个 $nums[i]$ 都表示位于下标 $i$ 的角色应该向前或向后移动的下标个数：

  • 如果 $nums[i]$ 是正数，向前 移动 $nums[i]$ 步
  • 如果 $nums[i]$ 是负数，向后 移动 $nums[i]$ 步

因为数组是环形的，所以可以假设从最后一个元素向前移动一步会到达第一个元素，而第一个元素向后移动一步会到达最后一个元素。

数组中的 循环 由长度为 $k$ 的下标序列 $seq$ ：

  • 遵循上述移动规则将导致重复下标序列 seq[0] -> seq[1] -> ... -> seq[k - 1] -> seq[0] -> ...
  • 所有 $nums[seq[j]]$ 应当不是 全正 就是 全负
  • $k > 1$

如果 $nums$ 中存在循环，返回 $true$ ；否则，返回 $false$。

示例 1：

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输入：nums = [2,-1,1,2,2]

输出：true

解释：存在循环，按下标 0 -> 2 -> 3 -> 0 。循环长度为 3 。

示例 2：
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输入：nums = [-1,2]

输出：false

解释：按下标 1 -> 1 -> 1 ... 的运动无法构成循环，因为循环的长度为 1 。根据定义，循环的长度必须大于 1 。

示例 3:
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输入：nums = [-2,1,-1,-2,-2]

输出：false

解释：按下标 1 -> 2 -> 1 -> ... 的运动无法构成循环，因为 nums[1] 是正数，而 nums[2] 是负数。
所有 nums[seq[j]] 应当不是全正就是全负。

提示：

  • 1 <= nums.length <= 5000
  • -1000 <= nums[i] <= 1000
  • nums[i] != 0

进阶：你能设计一个时间复杂度为 O(n) 且额外空间复杂度为 O(1) 的算法吗？

模拟

根据题意，我们可以从每个下标 $i$ 进行出发检查，如果以某个下标 $i$ 为出发点发现了「循环」，返回 True，否则返回 False。

唯一需要注意的细节是，当我们处理到的下标为 $cur$，计算下一个跳转点 $next = cur + nums[cur]$ 时，对于越过数组的情况进行处理：

  1. 如果 $next$ 为负数：在 $next$ 的基础上增加 $n * \left \lceil next / n \right \rceil$，将其映射回正值；

  2. 如果 $next$ 为正数：将 $next$ 模数组长度 $n$，确保不会越界。

整理一下，我们可以统一写成 next = ((cur + nums[cur]) % n + n ) % n。

在 check 内部，当以下任一条件出现，则可以结束检查（令 $k$ 为记录过程中扫描过的下标数量）：

  1. 如果在检查过程中，找到了与起点相同的下标，且 $k > 1$，说明存在符合条件的「循环」，返回 True；

  2. 如果检查过程中扫描的数量 $k$ 超过了数组长度 $n$，那么根据「鸽笼原理」，必然有数被重复处理了，同时条件一并不符合，因此再处理下去，也不会到达与起点相同的下标，返回 False；

  3. 处理过程中发现不全是正数或者负数，返回 False。

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代码：

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class Solution {
    int n;
    int[] nums;
    public boolean circularArrayLoop(int[] _nums) {
        nums = _nums;
        n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (check(i)) return true;
        }
        return false;
    }
    boolean check(int start) {
        int cur = start;
        boolean flag = nums[start] > 0;
        int k = 1;
        while (true) {
            if (k > n) return false;
            int next = ((cur + nums[cur]) % n + n ) % n;
            if (flag && nums[next] < 0) return false;
            if (!flag && nums[next] > 0) return false;
            if (next == start) return k > 1;
            cur = next;
            k++;
        }
    }
}

  • 时间复杂度：$O(n^2)$
  • 空间复杂度：$O(1)$

图的遍历标记（使用新数组标记）

这是一种补充做法，更多的作为「解法一」和「解法三」之间的过渡，建议在充分理解本解法之后，再学习解法三。

从「解法一」我们发现，我们会对很多重复的路径进行重复检查。

假如从位置 $a$ 到位置 $d$ 存在一条无环通路 $a-b-c-d$，根据「解法一」我们会在对 $a$ 进行通路是否有环的检查之后，再对 $b$ 、$c$ 和 $d$ 进行路径是否有环的检查。

事实上，由于每个点只有一个出度（某个位置能跳到的下一个位置是唯一确定的），因此我们可以使用 vis 数组记录那些下标被检查过了，从而避免相同的路径被重复检查。

同时，我们可以扩充 vis 数组的功能，使其不仅仅能用于判断某个位置是否被检查过，还能记录下某个位置是在哪一轮被检查过。具体的，我们令 $vis[i] = idx$ 代表位置 $i$ 在第 $idx$ 轮被标记。

如此一来，当我们检查某个位置 $start$ 的通路时，如果遇到一个跳点 $next$，发现 $vis[next]$ 不为 $0$（代表被被记过），可通过将 $vis[next]$ 与当前轮次编号做对比，来得知该位置是否在本轮被标记。

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代码：

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class Solution {   
    public boolean circularArrayLoop(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        // 使用 vis 数组对每个下标进行标记
        // 如果下标为 i 的位置在第 idx 轮被标记，则有 vis[i] = idx
        int[] vis = new int[n];
        for (int start = 0, idx = 1; start < n; start++, idx++) {
            if (vis[start] != 0) continue;
            int cur = start;
            boolean flag = nums[cur] > 0;
            while (true) {
                int next = ((cur + nums[cur]) % n + n) % n;
                if (next == cur) break;
                if (vis[next] != 0) {
                    // 如果 next 点已经被标记过，并且不是在本轮被标记，那么往后的通路必然都被标记，且无环，跳出   
                    if (vis[next] != idx) break;
                    // 如果 next 点已被标记，并且是本来被标记，说明找到了环
                    else return true;
                }
                if (flag && nums[next] < 0) break;
                if (!flag && nums[next] > 0) break;
                vis[next] = idx;
                cur = next;
            }
        }
        return false;
    }
}

  • 时间复杂度：$O(n)$
  • 空间复杂度：$O(n)$

图的遍历标记（使用原数组标记）

根据题意，我们将每个下标看做“点”，「当前点」和「当前点所能到达的下一个点」看作“边”。

从而将问题转换为经典的「图论寻环」问题，同时又因为每个点出度固定为 $1$，并且规定「循环」必然是「同向」才合法，因此如果我们在遍历过程中发现存在反向，就停止检查。

另外，为实现 $O(1)$ 的空间，我们需要在原数组上进行标记，我们设立一个足够大的数 OFFSET，对于由下标 $i$ 发起的寻环操作，我们将扫描的数标记为 OFFSET + i。如果在扫描完由 $i$ 发起的寻环后，没法发现自环，说明找到了「循环」，输出 True。

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代码：

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class Solution {
    int OFFSET = 100010;
    public boolean circularArrayLoop(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (nums[i] >= OFFSET) continue;
            int cur = i, tag = OFFSET + i, last = -1;
            boolean flag = nums[cur] > 0;
            while (true) {
                int next = ((cur + nums[cur]) % n + n ) % n;
                last = nums[cur];
                nums[cur] = tag;
                cur = next;
                if (cur == i) break;
                if (nums[cur] >= OFFSET) break;
                if (flag && nums[cur] < 0) break;
                if (!flag && nums[cur] > 0) break;
            }
            if (last % n != 0 && nums[cur] == tag) return true;
        }
        return false;
    }
}

  • 时间复杂度：$O(n)$
  • 空间复杂度：$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.457 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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