LC 1818. 绝对差值和

题目描述

这是 LeetCode 上的 1818. 绝对差值和 ，难度为 中等。

给你两个正整数数组 nums1 和 nums2，数组的长度都是 n 。

数组 nums1 和 nums2 的绝对差值和定义为所有 |nums1[i] - nums2[i]|（0 <= i < n）的总和（下标从 0 开始）。

你可以选用 nums1 中的任意一个元素来替换 nums1 中的至多一个元素，以最小化绝对差值和。

在替换数组 nums1 中最多一个元素之后，返回最小绝对差值和。

因为答案可能很大，所以需要对 $10^9 + 7$ 取余 后返回。

|x| 定义为：

  • 如果 $x >= 0$，值为 x ，或者
  • 如果 $x <= 0$，值为 -x

示例 1：

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输入：nums1 = [1,7,5], nums2 = [2,3,5]

输出：3

解释：有两种可能的最优方案：
- 将第二个元素替换为第一个元素：[1,7,5] => [1,1,5] ，或者
- 将第二个元素替换为第三个元素：[1,7,5] => [1,5,5]
两种方案的绝对差值和都是 |1-2| + (|1-3| 或者 |5-3|) + |5-5| = 3

示例 2：

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输入：nums1 = [2,4,6,8,10], nums2 = [2,4,6,8,10]

输出：0

解释：nums1 和 nums2 相等，所以不用替换元素。绝对差值和为 0

示例 3：
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输入：nums1 = [1,10,4,4,2,7], nums2 = [9,3,5,1,7,4]

输出：20

解释：将第一个元素替换为第二个元素：[1,10,4,4,2,7] => [10,10,4,4,2,7]
绝对差值和为 |10-9| + |10-3| + |4-5| + |4-1| + |2-7| + |7-4| = 20

提示：

  • $n = nums1.length$
  • $n = nums2.length$
  • $1 <= n <= 10^5$
  • $1 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^5$

二分

这是一道二分陈题，具体做法如下：

我们在进行处理前，先对 nums1 进行拷贝并排序，得到 sorted 数组。

然后 在遍历 nums1 和 nums2 计算总的差值 sum 时，通过对 sorted 进行二分查找，找到最合适替换 $nums[i]$ 的值。

具体的，当我们处理到第 i 位时，假设该位的原差值为 x = abs(nums1[i] - nums2[i])，然后从 sorted 数组中通过二分找到最接近 $nums2[i]$ 的值，计算一个新的差值 nd（注意要检查分割点与分割点的下一位），如果满足 $nd < x$ 说明存在一个替换方案使得差值变小，我们使用变量 max 记下来这个替换方案所带来的变化，并不断更新 max。

当整个数组被处理完，max 存储着最优方案对应的差值变化，此时 sum - max 即是答案。

Java 代码：

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class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int minAbsoluteSumDiff(int[] nums1, int[] nums2) {
        int n = nums1.length;
        int[] sorted = nums1.clone();
        Arrays.sort(sorted);
        long sum = 0, max = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = nums1[i], b = nums2[i];
            if (a == b) continue;
            int x = Math.abs(a - b);
            sum += x;
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (sorted[mid] <= b) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            int nd = Math.abs(sorted[r] - b);
            if (r + 1 < n) nd = Math.min(nd, Math.abs(sorted[r + 1] - b));
            if (nd < x) max = Math.max(max, x - nd);
        }
        return (int)((sum - max) % mod);
    }
}

C++ 代码：
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class Solution {
public:
    int mod = 1e9 + 7;
    int minAbsoluteSumDiff(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n = nums1.size();
        vector<int> sorted = nums1;
        sort(sorted.begin(), sorted.end());
        long long sum = 0, maxv = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = nums1[i], b = nums2[i];
            if (a == b) continue;
            long long x = abs(a - b);
            sum += x;
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (sorted[mid] <= b) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            int nd = abs(sorted[r] - b);
            if (r + 1 < n) nd = min(nd, abs(sorted[r + 1] - b));
            if (nd < x) maxv = max(maxv, x - nd);
        }
        return static_cast<int>((sum - maxv) % mod);
    }
};

Python 代码：
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class Solution:
    def minAbsoluteSumDiff(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        n = len(nums1)
        sorted_nums1 = sorted(nums1)
        sumv, maxv = 0, 0
        for i in range(n):
            a, b = nums1[i], nums2[i]
            if a == b: continue
            x = abs(a - b)
            sumv += x
            l, r = 0, n - 1
            while l < r:
                mid = l + r + 1 >> 1
                if sorted_nums1[mid] <= b: l = mid
                else: r = mid - 1
            nd = abs(sorted_nums1[r] - b)
            if r + 1 < n:
                nd = min(nd, abs(sorted_nums1[r + 1] - b))
            if nd < x:
                maxv = max(maxv, x - nd)
        return (sumv - maxv) % mod

TypeScript 代码：
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function minAbsoluteSumDiff(nums1: number[], nums2: number[]): number {
    const n: number = nums1.length, mod: number = 1e9 + 7;
    const sorted: number[] = [...nums1].sort((a, b) => a - b);
    let sum: number = 0, max: number = 0;
    for (let i: number = 0; i < n; i++) {
        const a: number = nums1[i], b: number = nums2[i];
        if (a === b) continue;
        const x: number = Math.abs(a - b);
        sum += x;
        let l: number = 0;
        let r: number = n - 1;
        while (l < r) {
            const mid: number = l + r + 1 >> 1;
            if (sorted[mid] <= b) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        let nd: number = Math.abs(sorted[r] - b);
        if (r + 1 < n) nd = Math.min(nd, Math.abs(sorted[r + 1] - b));
        if (nd < x) max = Math.max(max, x - nd);
    }
    return (sum - max) % mod;
};

  • 时间复杂度：对 sorted 进行拷贝并排序的复杂度为 $O(n\log{n})$；遍历处理数组时会一边统计，一边尝试二分，找最合适的替换数值，复杂度为 $O(n\log{n})$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$
  • 空间复杂度：使用 sorted 数组需要 $O(n)$ 的空间复杂度，同时排序过程中会使用 $O(\log{n})$ 的空间复杂度；整体复杂度为 $O(n + \log{n})$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1818 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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