LC 477. 汉明距离总和

题目描述

这是 LeetCode 上的 477. 汉明距离总和 ，难度为 中等。

两个整数的 汉明距离 指的是这两个数字的二进制数对应位不同的数量。

给你一个整数数组 nums，请你计算并返回 nums 中任意两个数之间汉明距离的总和。

示例 1：

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输入：nums = [4,14,2]
输出：6
解释：在二进制表示中，4 表示为 0100 ，14 表示为 1110 ，2表示为 0010 。（这样表示是为了体现后四位之间关系）
所以答案为：
HammingDistance(4, 14) + HammingDistance(4, 2) + HammingDistance(14, 2) = 2 + 2 + 2 = 6

示例 2：
1
2
输入：nums = [4,14,4]
输出：4

提示：

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1 <= nums.length <= $10^5$
0 <= nums[i] <= $10^9$

按位统计

我们知道，汉明距离为两数二进制表示中不同位的个数，同时每位的统计是相互独立的。

即最终的答案为 $\sum_{x = 0}^{31} calc(x)$，其中 $calc$ 函数为求得所有数二进制表示中的某一位 $x$ 所产生的不同位的个数。

我们考虑某个 $cacl(x)$ 如何求得：

事实上，对于某个 nums[i] 我们只关心在 nums 中有多少数的第 $x$ 位的与其不同，而不关心具体是哪些数与其不同，同时二进制表示中非 $0$ 即 $1$。

这指导我们可以建立两个集合 $s0$ 和 $s1$，分别统计出 nums 中所有数的第 $x$ 位中 $0$ 的个数和 $1$ 的个数，集合中的每次计数代表了 nums 中的某一元素，根据所在集合的不同代表了其第 $x$ 位的值。那么要找到在 nums 中有多少数与某一个数的第 $x$ 位不同，只需要读取另外一个集合的元素个数即可，变成了 $O(1)$ 操作。那么要求得「第 $x$ 位所有不同数」的对数的个数，只需要应用乘法原理，将两者元素个数相乘即可。

image.png

前面说到每位的统计是相对独立的，因此只要对「每一位」都应用上述操作，并把「每一位」的结果累加即是最终答案。

代码：

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class Solution {
    public int totalHammingDistance(int[] nums) {
        int ans = 0;
        for (int x = 31; x >= 0; x--) {
            int s0 = 0, s1 = 0;
            for (int u : nums) {
                if (((u >> x) & 1) == 1) {
                    s1++;
                } else {
                    s0++;
                }  
            }
            ans += s0 * s1;
        }
        return ans;
    }
}

  • 时间复杂度：$O(C * n)$，$C$ 固定为 $32$
  • 空间复杂度：$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.477 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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