LC 1011. 在 D 天内送达包裹的能力

题目描述

这是 LeetCode 上的 1011. 在 D 天内送达包裹的能力 ，难度为中等。

传送带上的包裹必须在 D 天内从一个港口运送到另一个港口。

传送带上的第 i 个包裹的重量为 $weights[i]$。

每一天，我们都会按给出重量的顺序往传送带上装载包裹。

我们装载的重量不会超过船的最大运载重量。

返回能在 D 天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。

示例 1：

输入：weights = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], D = 5

输出：15

解释：
船舶最低载重 15 就能够在 5 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：1, 2, 3, 4, 5
第 2 天：6, 7
第 3 天：8
第 4 天：9
第 5 天：10

请注意，货物必须按照给定的顺序装运，因此使用载重能力为 14 的船舶并将包装分成 (2, 3, 4, 5), (1, 6, 7), (8), (9), (10) 是不允许的。

示例 2：

输入：weights = [3,2,2,4,1,4], D = 3

输出：6

解释：
船舶最低载重 6 就能够在 3 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：3, 2
第 2 天：2, 4
第 3 天：1, 4

示例 3：

输入：weights = [1,2,3,1,1], D = 4

输出：3

解释：
第 1 天：1
第 2 天：2
第 3 天：3
第 4 天：1, 1

提示：

$1 <= D <= weights.length <= 5 \times 10^4$
$1 <= weights[i] <= 500$

二分解法（精确边界）

假定「D 天内运送完所有包裹的最低运力」为 ans，那么在以 ans 为分割点的数轴上具有「二段性」：

数值范围在 $(-\infty, ans)$ 的运力必然「不满足」 D 天内运送完所有包裹的要求
数值范围在 $[ans, +\infty)$ 的运力必然「满足」 D天内运送完所有包裹的要求

我们可以通过「二分」来找到恰好满足 D天内运送完所有包裹的分割点 ans。

接下来我们要确定二分的范围，由于不存在包裹拆分的情况，考虑如下两种边界情况：

理论最低运力：只确保所有包裹能够被运送，自然也包括重量最大的包裹，此时理论最低运力为 max，max 为数组 weights 中的最大值
理论最高运力：使得所有包裹在最短时间（一天）内运送完成，此时理论最高运力为 sum，sum 为数组 weights 的总和

由此，我们可以确定二分的范围为 $[max, sum]$。

Java 代码：

class Solution {
    public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
        int max = 0, sum = 0;
        for (int w : weights) {
            max = Math.max(max, w);
            sum += w;
        }
        int l = max, r = sum;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(weights, mid, days)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
    boolean check(int[] weights, int t, int days) {
        int n = weights.length, cnt = 1;
        for (int i = 1, sum = weights[0]; i < n; sum = 0, cnt++) {
            while (i < n && sum + weights[i] <= t) sum += weights[i++];
        }
        return cnt - 1 <= days;
    }
}

C++ 代码：

class Solution {
public:
    int shipWithinDays(vector<int>& weights, int days) {
        int maxv = 0, sum = 0;
        for (int w : weights) {
            maxv = max(maxv, w);
            sum += w;
        }
        int l = maxv, r = sum;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(weights, mid, days)) r = mid;    
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
    bool check(vector<int>& weights, int t, int days) {
        int n = weights.size(), cnt = 1;
        for (int i = 1, sum = weights[0]; i < n; sum = 0, cnt++) {
            while (i < n && sum + weights[i] <= t) sum += weights[i++];
        }
        return cnt - 1 <= days;
    }
};

Python 代码：

class Solution:
    def shipWithinDays(self, weights: List[int], days: int) -> int:
        def check(weights: List[int], t: int, days: int) -> bool:
            n, cnt = len(weights), 1
            i, sumv = 1, weights[0]
            while i < n:
                while i < n and sumv + weights[i] <= t:
                    sumv += weights[i]
                    i += 1
                cnt += 1
                sumv = 0
            return cnt - 1 <= days

        maxv, sumv = max(weights), sum(weights)
        l, r = maxv, sumv
        while l < r:
            mid = l + r >> 1
            if check(weights, mid, days):
                r = mid
            else:
                l = mid + 1
        return r

TypeScript 代码：

function shipWithinDays(weights: number[], days: number): number {
    const check = function(weights: number[], t: number, days: number): boolean {
        let n = weights.length, cnt = 1;
        for (let i = 1, sum = weights[0]; i < n; sum = 0, cnt++) {
            while (i < n && sum + weights[i] <= t) sum += weights[i++];
        }
        return cnt - 1 <= days;
    }
    let maxv = 0, sumv = 0;
    for (const w of weights) {
        maxv = Math.max(maxv, w);
        sumv += w;
    }
    let l = maxv, r = sumv;
    while (l < r) {
        const mid = l + r >> 1;
        if (check(weights, mid, days)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r;
};

时间复杂度：二分范围为 $[max, sum]$，check 函数的复杂度为 $O(n)$。整体复杂度为 $O(n\log({\sum_{i= 0}^{n - 1}ws[i]}))$
空间复杂度：$O(1)$

二分解法（粗略边界）

当然，一个合格的「二分范围」只需要确保包含分割点 ans 即可。因此我们可以利用数据范围来确立粗略的二分范围（从而少写一些代码）：

利用运力必然是正整数，从而确定左边界为 $1$
根据 $1 \leqslant D \leqslant weights.length \leqslant 50000$ 和 $1 \leqslant weights[i] \leqslant 500$，从而确定右边界为 $1e8$

PS. 由于二分查找具有折半效率，因此「确立粗略二分范围」不会比「通过循环取得精确二分范围」效率低。

Java 代码：

class Solution {
    public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
        int l = 1, r = (int)1e8;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(weights, mid, days)) r = mid;    
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
    boolean check(int[] weights, int t, int days) {
        if (weights[0] > t) return false;
        int n = weights.length, cnt = 1;
        for (int i = 1, sum = weights[0]; i < n; sum = 0, cnt++) {
            if (weights[i] > t) return false;
            while (i < n && sum + weights[i] <= t) sum += weights[i++];
        }
        return cnt - 1 <= days;
    }
}

C++ 代码：

class Solution {
public:
    int shipWithinDays(vector<int>& weights, int days) {
        int l = 1, r = 1e8;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(weights, mid, days)) r = mid;    
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
    bool check(vector<int>& weights, int t, int days) {
        if (weights[0] > t) return false;
        int n = weights.size(), cnt = 1;
        for (int i = 1, sum = weights[0]; i < n; sum = 0, cnt++) {
            if (weights[i] > t) return false;
            while (i < n && sum + weights[i] <= t) sum += weights[i++];
        }
        return cnt - 1 <= days;
    }
};

Python 代码：

class Solution:
    def shipWithinDays(self, weights: List[int], days: int) -> int:
        def check(weights: List[int], t: int, days: int) -> bool:
            if weights[0] > t: return False
            n, cnt = len(weights), 1
            i, sumv = 1, weights[0]
            while i < n:
                if weights[i] > t: return False
                while i < n and sumv + weights[i] <= t:
                    sumv += weights[i]
                    i += 1
                cnt += 1
                sumv = 0
            return cnt - 1 <= days

        l, r = 1, 10**8
        while l < r:
            mid = l + r >> 1
            if check(weights, mid, days):
                r = mid
            else:
                l = mid + 1
        return r

TypeScript 代码：

function shipWithinDays(weights: number[], days: number): number {
    const check = function(weights: number[], t: number, days: number): boolean {
        if (weights[0] > t) return false;
        let n = weights.length, cnt = 1;
        for (let i = 1, sum = weights[0]; i < n; sum = 0, cnt++) {
            if (weights[i] > t) return false;
            while (i < n && sum + weights[i] <= t) sum += weights[i++];
        }
        return cnt - 1 <= days;
    }
    let l = 0, r = 1e8;
    while (l < r) {
        const mid = l + r >> 1;
        if (check(weights, mid, days)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r;
};

时间复杂度：二分范围为 $[1, 1e8]$，check 函数的复杂度为 $O(n)$。整体复杂度为 $O(n\log{1e8})$
空间复杂度：$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1011 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

二分

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