LC 1006. 笨阶乘
题目描述
这是 LeetCode 上的 1006. 笨阶乘 ,难度为 中等。
通常,正整数 n 的阶乘是所有小于或等于 n 的正整数的乘积。
例如,factorial(10) = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 * 1。
相反,我们设计了一个笨阶乘 clumsy:在整数的递减序列中,我们以一个固定顺序的操作符序列来依次替换原有的乘法操作符:乘法(*),除法(/),加法(+)和减法(-)。
例如,clumsy(10) = 10 9 / 8 + 7 - 6 5 / 4 + 3 - 2 * 1。然而,这些运算仍然使用通常的算术运算顺序:我们在任何加、减步骤之前执行所有的乘法和除法步骤,并且按从左到右处理乘法和除法步骤。
另外,我们使用的除法是地板除法(floor division),所以 10 * 9 / 8 等于 11。这保证结果是一个整数。
实现上面定义的笨函数:给定一个整数 N,它返回 N 的笨阶乘。
示例 1:1
2
3
4
5输入:4
输出:7
解释:7 = 4 * 3 / 2 + 1
示例 2:1
2
3
4
5输入:10
输出:12
解释:12 = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1
提示:
- 1 <= N <= 10000
- -$2^{31}$ <= answer <= $2^{31}$ - 1 (答案保证符合 32 位整数)
通用表达式解法
第一种解法是我们的老朋友解法了,使用「双栈」来解决通用表达式问题。
事实上,我提供这套解决方案不仅仅能解决只有 + - ( )
(224. 基本计算器) 或者 + - * /
(227. 基本计算器 II) 的表达式问题,还能能解决 + - * / ^ % ( )
的完全表达式问题。
甚至支持自定义运算符,只要在运算优先级上进行维护即可。
对于「表达式计算」这一类问题,你都可以使用这套思路进行解决。我十分建议你加强理解这套处理逻辑。
对于「任何表达式」而言,我们都使用两个栈 nums
和 ops
:
nums
: 存放所有的数字ops
:存放所有的数字以外的操作
然后从前往后做,对遍历到的字符做分情况讨论:
- 空格 : 跳过
(
: 直接加入ops
中,等待与之匹配的)
)
: 使用现有的nums
和ops
进行计算,直到遇到左边最近的一个左括号为止,计算结果放到nums
- 数字 : 从当前位置开始继续往后取,将整一个连续数字整体取出,加入
nums
+ - * / ^ %
: 需要将操作放入ops
中。在放入之前先把栈内可以算的都算掉(只有「栈内运算符」比「当前运算符」优先级高/同等,才进行运算),使用现有的nums
和ops
进行计算,直到没有操作或者遇到左括号,计算结果放到nums
我们可以通过 🌰 来理解 只有「栈内运算符」比「当前运算符」优先级高/同等,才进行运算 是什么意思:
因为我们是从前往后做的,假设我们当前已经扫描到 2 + 1
了(此时栈内的操作为 +
)。
- 如果后面出现的
+ 2
或者- 1
的话,满足「栈内运算符」比「当前运算符」优先级高/同等,可以将2 + 1
算掉,把结果放到nums
中; - 如果后面出现的是
* 2
或者/ 1
的话,不满足「栈内运算符」比「当前运算符」优先级高/同等,这时候不能计算2 + 1
。
更为详细的讲解可以看这篇题解 :使用「双栈」解决「究极表达式计算」问题
代码:
1 |
|
- 时间复杂度:$O(n)$
- 空间复杂度:$O(n)$
数学解法(打表技巧分析)
这次在讲【证明】之前,顺便给大家讲讲找规律的题目该怎么做。
由于是按照特定顺序替换运算符,因此应该是有一些特性可以被我们利用的。
通常我们需要先实现一个可打表的算法(例如上述的解法一,这是为什么掌握「通用表达式」解法具有重要意义),将连续数字的答案打印输出,来找找规律:
1 |
|
似乎 $n$ 与 答案比较接近,我们考虑将两者的差值输出:
1 |
|
咦,好像发现了什么不得了的东西。似乎每四个数,差值都是 [1, 2, 2, -1]
再修改我们的打表逻辑,来验证一下(只输出与我们猜想不一样的数字):
1 |
|
只有前四个数字被输出,其他数字都是符合我们的猜想规律的。
到这里我们已经知道代码怎么写可以 AC 了,十分简单。
代码:
1 |
|
- 时间复杂度:$O(1)$
- 空间复杂度:$O(1)$
证明
讲完我们的【实战技巧】之后,再讲讲如何证明。
上述的做法比较适合于笔试或者比赛,但是面试,通常还需要证明做法为什么是正确的。
我们不失一般性的分析某个 n
,当然这个 n
必须是大于 4,不属于我们的特判值。
然后对 n
进行讨论(根据我们的打表猜想去证明规律是否可推广):
n % 4 == 0
: $f(n) = n (n - 1) / (n - 2) + … + 5 - 4 3 / 2 + 1 = n + 1$,即diff = 1
n % 4 == 1
: $f(n) = n (n - 1) / (n - 2) + … + 6 - 5 4 / 3 + 2 - 1 = n + 2$,即diff = 2
n % 4 == 2
: $f(n) = n (n - 1) / (n - 2) + … + 7 - 6 5 / 4 + 3 - 2 * 1 = n + 2$,即diff = 2
n % 4 == 3
: $f(n) = n (n - 1) / (n - 2) + … + 8 - 7 6 / 5 + 4 - 3 * 2 / 1 = n - 1$,即diff = -1
上述的表达式展开过程属于小学数学内容,省略号部分的项式的和为 0,因此你只需要关注我写出来的那部分。
至此,我们证明了我们的打表猜想具有「可推广」的特性。
甚至我们应该学到:证明可以是基于猜想去证明,而不必从零开始进行推导。
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1006
篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
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