LC 456. 132 模式

题目描述

这是 LeetCode 上的 456. 132 模式 ，难度为 中等。

给你一个整数数组 nums，数组中共有 n 个整数。132 模式的子序列 由三个整数 nums[i]、nums[j] 和 nums[k] 组成，并同时满足：$i < j < k$ 和 $nums[i] < nums[k] < nums[j]$ 。

如果 nums 中存在 132 模式的子序列 ，返回 true；否则，返回 false。

进阶：很容易想到时间复杂度为 $O(n^2)$ 的解决方案，你可以设计一个时间复杂度为 $O(n \log{n})$ 或$ O(n)$ 的解决方案吗？

示例 1：

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输入：nums = [1,2,3,4]

输出：false

解释：序列中不存在 132 模式的子序列。

示例 2：
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输入：nums = [3,1,4,2]

输出：true

解释：序列中有 1 个 132 模式的子序列： [1, 4, 2] 。

示例 3：
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输入：nums = [-1,3,2,0]

输出：true

解释：序列中有 3 个 132 模式的的子序列：[-1, 3, 2]、[-1, 3, 0] 和 [-1, 2, 0] 。

提示：

  • $n = nums.length$
  • $1 <= n <= 10^4$
  • $-10^9 <= nums[i] <= 10^9$

基本思路

朴素的做法是分别对三个数进行枚举，这样的做法是 $O(n^3)$ 的，数据范围是 $10^4$，稳稳超时。

事实上，这样的数据范围甚至不足以我们枚举其中两个数，然后优化找第三个数的 $O(n^2)$ 做法。

这时候根据数据范围会联想到树状数组，使用树状数组的复杂度是 $O(n\log{n})$ 的，可以过。但是代码量会较多一点，还需要理解离散化等前置知识。题解也不太好写。

因此，我们可以从 132 的大小特性去分析，如果在确定一个数之后，如何快速找到另外两个数（我们使用 ijk 来代指 132 结构）：

  1. 枚举 i：由于 i 是 132 结构中最小的数，那么相当于我们要从 i 后面，找到一个对数 (j,k)，使得 (j,k) 都满足比 i 大，同时 j 和 k 之间存在 j > k 的关系。由于我们的遍历是单向的，因此我们可以将问题转化为找 k，首先 k 需要比 i 大，同时在 [i, k] 之间存在比 k 大的数即可。

  2. 枚举 j：由于 j 是 132 结构里最大的数，因此我们需要在 j 的右边中比 j 小的「最大」的数，在 j 的左边找比 j 小的「最小」的数。这很容易联想到单调栈，但是朴素的单调栈是帮助我们找到左边或者右边「最近」的数，无法直接满足我们「最大」和「最小」的要求，需要引入额外逻辑。

  3. 枚举 k：由于 k 是 132 结构中的中间值，这里的分析逻辑和「枚举 i」类似，因为遍历是单向的，我们需要找到 k 左边的 i，同时确保 [i,k] 之间存在比 i 和 k 大的数字。

以上三种分析方法都是可行的，但「枚举 i」的做法是最简单的。

因为如果存在 (j,k) 满足要求的话，我们只需要找到一个最大的满足条件的 k，通过与 i 的比较即可。

也许你还不理解是什么意思。没关系，我们一边证明一边说。

过程 & 证明

先说处理过程吧，我们从后往前做，维护一个「单调递减」的栈，同时使用 k 记录所有出栈元素的最大值（k 代表满足 132 结构中的 2）。

那么当我们遍历到 i，只要满足发现满足 nums[i] < k，说明我们找到了符合条件的 i j k。

举个🌰，对于样例数据 [3, 1, 4, 2]，我们知道满足 132 结构的子序列是 [1, 4, 2]，其处理逻辑是（遍历从后往前）：

  1. 枚举到 2：栈内元素为 [2]，k = INF
  2. 枚举到 4：不满足「单调递减」，2 出栈更新 k，4 入栈。栈内元素为 [4]，k = 2
  3. 枚举到 1：满足 nums[i] < k，说明对于 i 而言，后面有一个比其大的元素（满足 i < k 的条件），同时这个 k 的来源又是因为维护「单调递减」而弹出导致被更新的（满足 i 和 k 之间，有比 k 要大的元素）。因此我们找到了满足 132 结构的组合。

这样做的本质是：我们通过维护「单调递减」来确保已经找到了有效的 (j,k)。换句话说如果 k 有值的话，那么必然是因为有 j > k，导致的有值。也就是 132 结构中，我们找到了 32，剩下的 i （也就是 132 结构中的 1）则是通过遍历过程中与 k 的比较来找到。这样做的复杂度是 $O(n)$ 的，比树状数组还要快。

从过程上分析，是没有问题的。

搞清楚了处理过程，证明也变得十分简单。

我们不失一般性的考虑任意数组 nums，假如真实存在 ijk 符合 132 的结构（这里的 ijk 特指所有满足 132 结构要求的组合中 k 最大的那个组合）。

由于我们的比较逻辑只针对 i 和 k，而 i 是从后往前的处理的，必然会被遍历到；漏掉 ijk 的情况只能是：在遍历到 i 的时候，我们没有将 k 更新到变量中：

  1. 这时候变量的值要比真实情况下的 k 要小，说明 k 还在栈中，而遍历位置已经到达了 i，说明 j 和 k 同时在栈中，与「单调递减」的性质冲突。
  2. 这时候变量的值要比真实情况下的 k 要大，说明在 k 出栈之后，有比 k 更大的数值出栈了（同时必然有比变量更大的值在栈中），这时候要么与我们假设 ijk 是 k 最大的组合冲突；要么与我们遍历到的位置为 i 冲突。

综上，由于「单调递减」的性质，我们至少能找到「遍历过程中」所有符合条件的 ijk 中 k 最大的那个组合。

Java 代码：

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class Solution {
    public boolean find132pattern(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        int k = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            if (nums[i] < k) return true;
            while (!d.isEmpty() && d.peekLast() < nums[i]) {
                // 事实上，k 的变化也具有单调性，直接使用 k = pollLast() 也是可以的
                k = Math.max(k, d.pollLast()); 
            }
            d.addLast(nums[i]);
        }
        return false;
    }
}

Python3 代码：
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class Solution:
    def find132pattern(self, nums: List[int]) -> bool:
        stack = []
        k = -(10 ** 9 + 7)
        for i in range(len(nums) - 1,-1,-1):
            if nums[i] < k:
                return True
            while stack and stack[-1] < nums[i]:
                k = max(k,stack.pop())
            stack.append(nums[i])
        return False

C++ 代码：
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class Solution {
public:
    bool find132pattern(vector<int>& nums) {
        stack<int> st;
        int n = nums.size(), k = INT_MIN;
        for(int i = n - 1; i >= 0; i--){
            if(nums[i] < k) return true;
            while(!st.empty() and st.top() < nums[i]) { 
                k = max(k,st.top()); st.pop();
            }
            st.push(nums[i]);
        }
        return false;
    }
};

  • 时间复杂度：$O(n)$
  • 空间复杂度：$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.456 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

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