LC 33. 搜索旋转排序数组

题目描述

这是 LeetCode 上的 33. 搜索旋转排序数组 ，难度为 中等。

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k （0 <= k < nums.length）上进行了旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。

例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2]。

给你旋转后的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

示例 1：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0

输出：4

示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3

输出：-1

示例 3：

输入：nums = [1], target = 0

输出：-1

提示：

• $1 <= nums.length <= 5000$
• $-10^4 <= nums[i] <= 10^4$
• nums 中的每个值都 独一无二
• 题目数据保证 nums 在预先未知的某个下标上进行了旋转
• $-10^4 <= target <= 10^4$

进阶：你可以设计一个时间复杂度为 $O(\log{n})$ 的解决方案吗？

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朴素解法

但凡是从有序序列中找某个数，我们第一反应应该是「二分」。

这道题是一个原本有序的数组在某个点上进行了旋转，其实就是将原本一段升序的数组分为了两段。

我们可以先找到旋转点 idx，然后对 idx 前后进行「二分」。

代码：

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        int idx = 0;
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            if (nums[i] > nums[i + 1]) {
                idx = i;
                break;
            }
        }
        int ans = find(nums, 0, idx, target);
        if (ans != -1) return ans;
        if (idx + 1 < n) ans = find(nums, idx + 1, n - 1, target);
        return ans;
    }
    int find(int[] nums, int l, int r, int target) {
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (nums[mid] >= target) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return nums[l] == target ? l : -1;
    }
}

• 时间复杂度：先对数组进行一次遍历，找到 idx，复杂度为 $O(n)$，对 idx 前后进行二分查找，复杂度为 $O(\log{n})$。整体为 $O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

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二分解法

不难发现，虽然在朴素解法中我们应用了「二分」查找。

但理论复杂度为 $O(n)$，实际复杂度也远达不到 $O(\log{n})$，执行效率取决于旋转点 idx 所在数组的下标位置。

那么我们如何实现 $O(\log{n})$ 的解法呢？

这道题其实是要我们明确「二分」的本质是什么。

「二分」不是单纯指从有序数组中快速找某个数，这只是「二分」的一个应用。

「二分」的本质是两段性，并非单调性。只要一段满足某个性质，另外一段不满足某个性质，就可以用「二分」。

经过旋转的数组，显然前半段满足 >= nums[0]，而后半段不满足 >= nums[0]。我们可以以此作为依据，通过「二分」找到旋转点。

找到旋转点之后，再通过比较 target 和 nums[0] 的大小，确定 target 落在旋转点的左边还是右边。

代码：

[]

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        if (n == 0) return -1;
        if (n == 1) return nums[0] == target ? 0 : -1;

        // 第一次「二分」：从中间开始找，找到满足 >=nums[0] 的分割点（旋转点）
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (nums[mid] >= nums[0]) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }

        // 第二次「二分」：通过和 nums[0] 进行比较，得知 target 是在旋转点的左边还是右边
        if (target >= nums[0]) {
            l = 0;
        } else {
            l = l + 1;
            r = n - 1;
        }
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (nums[mid] >= target) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }

        return nums[r] == target ? r : -1;
    }
}

• 时间复杂度：$O(\log{n})$
• 空间复杂度：$O(1)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.33 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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