LC 22. 括号生成

题目描述

这是 LeetCode 上的 22. 括号生成 ，难度为 中等。

数字 $n$ 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合。

示例 1：

输入：n = 3

输出：["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]

示例 2：

输入：n = 1

输出：["()"]

提示：

• $1 <= n <= 8$

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DFS

既然题目是求所有的方案，那只能爆搜了，爆搜可以使用 DFS 来做。

从数据范围 1 <= n <= 8 来说，DFS 应该是稳稳的 AC。

这题的关键是我们要从题目中发掘一些性质：

1. 括号数为 n，那么一个合法的括号组合，应该包含 n 个左括号和 n 个右括号，组合总长度为 2n

2. 一对合法的括号，应该是先出现左括号，再出现右括号。那么意味着任意一个右括号的左边，至少有一个左括号

其中性质 2 是比较难想到的，我们可以用反证法来证明性质 2 总是成立：

假设某个右括号不满足「其左边至少有一个左括号」，即其左边没有左括号，那么这个右括号就找不到一个与之对应的左括号进行匹配。

这样的组合必然不是有效的括号组合。

使用我们「20. 有效的括号（简单）」的思路（栈）去验证的话，必然验证不通过。

掌握了这两个性质之后，我们可以设定一个初始值为 0 的得分值，令往组合添加一个 ( 得分值 + 1，往组合添加一个 ) 得分值 -1。

这样就有：

1. 一个合法的括号组合，最终得分必然为 0 （左括号和右括号的数量相等，对应了性质 1）

2. 整个 DFS 过程中，得分值范围在 [0, n]（得分不可能超过 n 意味着不可能添加数量超过 n 的左括号，对应了性质 1；得分不可能为负数，意味着每一个右括号必然有一个左括号进行匹配，对应性质 2）

代码：

class Solution {
    public List<String> generateParenthesis(int n) {
        List<String> ans = new ArrayList<>();
        dfs(0, n * 2, 0, n, "", ans);
        return ans;
    }

    /**
    * i: 当前遍历到位置
    * n: 字符总长度
    * score: 当前得分，令 '(' 为 1， ')' 为 -1
    * max: 最大得分值
    * path: 当前的拼接结果
    * ans: 最终结果集
    */
    void dfs(int i, int n, int score, int max, String path, List<String> ans) {
        if (i == n) {
            if (score == 0) ans.add(path);
        } else {
            if (score + 1 <= max) dfs(i + 1, n, score + 1, max, path + "(", ans);
            if (score - 1 >= 0) dfs(i + 1, n, score - 1, max, path + ")", ans);
        }
    }
}

• 时间复杂度：放置的左括号数量为 n，右括号的个数总是小于等于左括号的个数，典型的卡特兰数问题。复杂度为 $O(C_{2n}^n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.22 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。